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수학 학습지661

내분점과 외분점 (개념+공식+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 두 점 사이의 거리 📄 [고등수학(상)] 세 점이 이루는 삼각형 판정하기 | 수직선 위의 내분점과 외분점 수직선 위의 선분을 이루는 두 점을 기준으로 거리가 m:n의 비를 가질 때, 선분 안에 있다면 내분점 선분 밖에 있다면 외분점이라고 부릅니다. (1) 내분점 선분 AB를 내분하는 내분점 P에 대하여 점 P는 선분 AB 안에 있고, (선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족합니다. 이 때 점 P의 좌표는 입니다. 예) 점 A(-3), 점 B(5)를 1:3으로 내분하는 점 P의 좌표는 {(-3)×3 + 5×1}÷(1+3) = (-4)÷4 = -1 따라서 점 P의 좌표는 P(-1) (2) 외분점 선분 AB를 외분하는 점 P에 대하여 점 P는 선.. 2020. 8. 19.
[중2-2] 1. 이등변삼각형의 성질과 조건 (개념+수학문제) [2021-08-22 안내] 오답지가 있어 수정했습니다. | 이등변삼각형이란? 이등변삼각형은 두 변의 길이가 같은 삼각형을 말합니다. 삼각형 가, 나, 다 중 이등변삼각형을 찾아봅시다. 삼각형 가는 두 변의 길이가 같으므로 이등변삼각형입니다. 삼각형 나는 세 변의 길이가 서로 다르므로 이등변삼각형이 아닙니다. 삼각형 다는 세 변의 길이가 모두 같은 정삼각형으로, 이등변삼각형입니다. [참고] 정삼각형은 이등변삼각형이다. | 이등변삼각형의 성질 [정리] 이등변삼각형의 성질은 다음과 같습니다. 1. 이등변삼각형의 두 밑각의 크기는 서로 같다. 2. 이등변삼각형의 밑각이 아닌 각의 이등분선은 밑변을 수직이등분한다. (밑각이 아닌 각 >> 꼭지각이라고도 표현) 1. 이등변삼각형의 꼭지각이 40°일 때, 밑각의 크.. 2020. 8. 18.
[초6-2] 7. 자릿수가 다른 소수 나누기 소수, 소수의 나눗셈 소수점 옮기기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [초6-2] (소수 한 자리 수)÷(소수 한 자리 수) 📄 [초6-2] (소수 두 자리 수)÷(소수 두 자리 수) | 자릿수가 다른 소수의 나눗셈 자릿수가 다른 소수의 나눗셈은 어떻게 계산할 수 있을까요? 0.51÷0.3을 계산해봅시다. 나누어지는 수와 나누는 수에 각각 10을 곱하면,5.1÷3입니다. 5.1은 0.1이 51개이므로,5.1÷3=1.7입니다. 따라서 0.51÷0.3=1.7입니다. [정리] 자릿수가 다른 소수의 나눗셈은 다음과 같은 방법으로 계산합니다. 1. 나누는 수가 자연수가 되도록 소수점을 오른쪽으로 옮깁니다. 2. 나누어지는 수 역시 소수점을 똑같이 옮깁니다. 3. 몫을 구합니다. 예) 5.72÷2.6 = 57.2÷26 = 2.2 예) 24.7÷0.19 나누.. 2020. 8. 18.
선분, 직선, 반직선의 의미와 읽는 방법 (개념+수학문제) [참고] 도형학습지는 계산학습지와 다르게 라이트 학습지만 제공됩니다. | 2단원 평면도형 평면도형 단원은 도형에 대한 기초를 다지는 단원입니다. 삼각형, 사각형 등 추상화된 도형을 바로 다루기보다는 도형을 구성하는 요소 (선분, 각 등)를 배우는 데 중점을 둡니다. 2단원에서는 선분, 직선, 반직선을 배우고, 직각을 비롯한 각을 학습하며, 직각삼각형, 직사각형, 정사각형을 이해하는 데 중점을 둡니다. | 선분, 직선, 반직선 선분과 직선, 반직선은 두 점을 잇는 곧은 선입니다. 곧은 선이라는 점에서 공통점을 가지지만, 그 모습이 조금씩 다릅니다. 그림을 보면서 선분, 직선, 반직선 사이의 차이점을 살펴보고 읽는 방법을 알아봅시다. (1) 선분 선분은 두 점을 곧게 이은 선입니다. 한 점에서 출발하여 다른.. 2020. 8. 18.
곱셈공식을 활용한 수의 계산, 분모의 유리화 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 곱셈공식 📄 [중3-1] 분모의 유리화 | 곱셈공식을 활용한 수의 계산 완전제곱식을 비롯한 곱셈공식을 이용하면, 복잡한 자연수의 곱셈을 쉽게 계산할 수 있습니다. 자연수의 곱셈에서 사용할 수 있는 곱셈공식은 크게 네 가지 입니다. 이 중 1~4번은 자연수의 곱셈에 대입하면 계산이 수월해지는 공식들입니다. 예) 102×102를 계산해봅시다. a=100, b=2로 놓으면 (a+b)×(a+b)로 나타낼 수 있습니다. 이는 완전제곱식이므로, 전개한 공식을 대입해봅시다. a^2 = 100×100 = 10000 (^2는 제곱을 나타냅니다.) 2ab = 2×100×2 = 400b^2 = 2×2 = 4 10000+400+4 = 10404 따라서 102×102 = 10404입니다... 2020. 8. 17.
[수학I] 20. 등차수열의 합 구하는 방법 (개념+공식+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [수학I] 등차수열의 뜻 | 등차수열의 합 등차수열의 합은 등차수열의 성질을 이용하여 구할 수 있습니다. 등차수열의 성질은 다음과 같았습니다. 세 가지 성질 중 마지막 성질을 이용하면 등차수열의 합을 유도할 수 있습니다. 첫째항을 a, 공차를 d라고 놓으면, 이와 같이 수열의 합을 유도할 수 있습니다. [참고] 등차수열의 합은 (양 끝항의 산술평균)×(항의 개수)로 계산할 수도 있습니다. | 여러 가지 등차수열의 합 구하기 1. 첫째항이 -3, 제 6항이 7인 등차수열의 첫째항부터 20항까지의 합 첫째항이 -3이고, 제 6항이 7이므로, 제 6항에서 첫째항을 뺀다면 5d를 얻을 수 있습니다. 5d=10 d=2 따라서 등차수열의 일반항은 a_n = -3+2(n-1) a_n = 2.. 2020. 8. 17.
[초4-2] 6. (자연수)-(분수), 자연수 빼기 분수, 자연수 분수 뺄셈 계산하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [초4-2] (진분수)-(진분수) 📄 [초4-2] (대분수)+(대분수) 📄 [초4-2] (대분수)-(대분수) | (자연수)-(분수) 계산하기 자연수와 분수는 어떻게 뺄 수 있을까요? (1) 자연수와 진분수의 뺄셈 자연수 1을 크기가 같은 분수로 고치면 두 수의 차를 구할 수 있습니다. 3 - 2/6을 계산하기 위해서는 3의 1을 6/6으로 고치면 계산할 수 있습니다. 6/6 - 2/6은 분모가 같은 분수의 뺄셈에서 알아보았듯이 분자를 빼 계산할 수 있습니다. 6/6 - 2/6 따라서 두 수의 차는 2와 4/6임을 알 수 있습니다. (2) 자연수와 대분수의 뺄셈 자연수에서 대분수를 빼기 위해서는 역시 자연수의 1을 분수로 고치면 계산할 수 있습니다. 5에서 3과 11/13을 빼기.. 2020. 8. 17.
좌표평면 위의 세 점에 대한 삼각형의 조건 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 두 점 사이의 거리 | 좌표평면 위의 세 점이 이루는 관계 좌표평면 위의 임의의 세 점은 크게 삼각형을 만들거나, 세 점이 한 직선 위에 있거나, 일치하는 점이 생깁니다. 좌표평면 위의 세 점으로 만들어지는 세 가지 경우를 살펴본 후, 삼각형을 이루는 조건을 자세히 살펴보도록 하겠습니다. 1. 삼각형을 만든다. → 조건 1 : 세 점의 좌표 중 일치하는 좌표가 없다. → 조건 2 : (가장 긴 선분의 길이) (나머지 변의 길이의 제곱의 합) 예각삼각형 (가장 긴 변의 길이)^2 < (나머지 변의 길이의 제곱의 합) [주의1] 정삼각형이고 예각삼각형이라면, 정삼각형이라고 판정합니다. [주의2] 이등변삼각형인 경우 두 변의 길이가 같음을 나타내어야 합니다. 예) .. 2020. 8. 16.
[수학I] 19. 등차수열의 성질 : 공식, 항 구하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [수학I] 등차수열의 의미, 공차, 일반항 | 등차수열의 성질 [정리] 등차수열은 다음과 같은 성질을 가집니다. 첫 번째 성질과 두 번째 성질은 앞서 등차수열의 의미를 학습할 때 다루었던 내용입니다. 첫번째 성질은 일반항에 대한 것으로, 제 n항은 첫째항인 a에 공차를 (n-1)번 더했다는 뜻입니다. 실제로 수열에 대하여제 2항은 제 1항에서 공차를 한 번 더했으므로, a_2 = a+d 입니다. 제 3항은 제 1항에서 공차를 두 번 더했으므로, a_3 = a+2d 입니다. 이것을 계속 반복하다보면 제 n항은 a+(n-1)d 임을 알 수 있습니다. 두 번째 성질은 이웃한 두 항에 대한 이야기입니다. 제 n항에 대하여 앞에 있는 n-1항은공차를 한 번 덜 더했다고 생각할 수 있습니.. 2020. 8. 15.
[초3-2] 9. 받아내림이 있는 (몇십)÷(몇) 계산하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [초3-2] 받아내림이 없는 (몇십)÷(몇) | 받아내림이 있는 나눗셈 나눗셈에서 받아내림은 어떻게 할 수 있을까요? 70÷5를 계산해봅시다. 70은 10이 7인 수로 10묶음이 일곱 개인 수입니다. 10묶음 7개를 5로 나누면 몫이 1, 나머지가 2입니다. 여기서, 10묶음 2는 낱개 20으로 나타낼 수 있습니다. 20÷5=4입니다. 따라서 몫은 14, 나머지는 0으로 나타낼 수 있습니다. [정리] 받아내림이 있는 (몇십)÷(몇) 1. 십의 자리에서 몫을 구하고, 나머지를 구합니다. 2. 나머지를 십의 자리로 가지는 수를 나누어 나머지를 구합니다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 이번 학습지는 몫을 받아내림하여 일의 자리까지 나타내는 유형입니다. 십의 자리에서 나.. 2020. 8. 15.
[초5-2] 7. 분수 곱하기 분수 계산하는 법, (진분수)×(진분수) (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [초5-2] (진분수)×(자연수) 📄 [초5-2] (자연수)×(진분수) | 분수의 곱셈 : (진분수) × (진분수) [정리] 분수의 곱셈은 다음과 같은 방법으로 계산합니다. 1. 대각선 방향에 있는 두 수를 약분한다. 2. 분모끼리 곱해 분모를 적는다. 3. 분자끼리 곱해 분자를 적는다. 4. 구한 분모와 분자를 곱에 나타낸다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 분수의 곱셈은 넓이를 구하거나, 두 분수를 곱해야 하는 여러 생활 속의 문제를 해결할 때 필요합니다. 자연수의 곱셈과 다르게, 분자와 분모를 따로 곱해야 하며 기약분수로 나타낼 수 있어야 합니다. 이번 학습지는 진분수끼리의 곱셈 20문제로 준비했습니다. 문제를 풀어보면서 분수의 곱셈에 익숙해져 봅시다. ✔ 저.. 2020. 8. 14.
[수학I] 18. 등차수열의 뜻, 공차, 일반항 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [수학I] 수열의 의미 | 등차수열의 의미 등차수열이란, 첫째항부터 같은 수씩 더해지는 수열을 말합니다. 1,3,5,7,9... 의 첫째항은 1입니다. 제2항은 첫째항에 2를 더한 값이고,제3항은 제2항에 2를 더한 값입니다. 정리하자면, 1,3,5,7,9...는 첫째항을 1로 가지고 2씩 더해지는 등차수열입니다. 등차수열의 다른 예로는 다음과 같습니다. 예) 3,6,9,12,15... 첫째항이 3, 3씩 더해짐 예) 10, 15, 20, 25, 30... 첫째항이 10, 5씩 더해짐 예) 300, 310, 320, 330, 340... 첫째항이 300, 10씩 더해짐 | 공차의 의미 공차란, 등차수열에서 이웃한 두 항의 변화량입니다. 제 n항에 공차를 더하면 제 (n+1)항을.. 2020. 8. 13.
두 점 사이의 거리 공식 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중1-1] 절댓값 | 수직선 위의 두 점 사이의 거리 수직선 위의 두 점 사이의 거리를 구해봅시다. 위 그림에서 초록색 점의 좌표는 -1, 주황색 점의 좌표는 4입니다. 두 점 사이의 거리는 좌표의 차와 서로 같습니다. 4-(-1)=5이므로, 두 점 사이의 거리는 5입니다. [정리] 수직선 위의 두 점 A(a), B(b)에 대하여 점 A와 점 B 사이의 거리는 | a - b | | 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 직각삼각형을 만들어 구해보아야 합니다. 좌표평면 위의 두 점 A(-1,-1), B(3,1) 사이의 거리를 구해봅시다. 두 점 사이의 거리는 두 점을 잇는 선분의 길이와 서로 같으므로, 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. 이 때.. 2020. 8. 13.
[초6-2] 6. 소수의 나눗셈 : (소수 두 자리 수)÷(소수 두 자리 수) 계산 방법 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [초6-2] 소수 한 자리 수 ÷ 소수 한 자리 수 | (소수 두 자리 수)÷(소수 두 자리 수) 5.46÷0.14를 계산해봅시다. 5.46은 0.01이 546인 수이고, 0.14는 0.01이 14인 수입니다. 따라서 5.46÷0.14는 546÷14로 생각해볼 수 있습니다. 546÷14 = 39이므로, 5.46÷0.14 = 39입니다. [정리] 소수 두 자리 수의 나눗셈은 다음과 같이 계산할 수 있습니다. 1. 나누어지는 수와 나누는 수에 100을 곱한다.(소수 점을 오른쪽으로 두 칸 옮긴다.) 2. 곱한 수끼리 나누어 몫을 구한다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 소수 두 자리 수의 나눗셈은 소수 한 자리 수의 나눗셈과 같은 방법으로 계산합니다. 소수점을 옮긴 후.. 2020. 8. 12.
[수학I] 17. 수열의 의미, 일반항의 뜻 (개념+수학문제) * 수학 I 라이트 학습지 포스팅은 17번부터 수열을, 수열 진도가 마무리되면 삼각함수로 돌아가는 순서로 포스팅할 예정입니다. | 수열이란? 1. 수열의 의미 수열은 수를 나열한 것을 의미합니다. 수열은 과 같이 나타내며, a는 수열의 이름, n은 항의 번호를 의미합니다. 항이란 수열에서 나열한 하나하나의 수를 뜻합니다. 예를 들어, 2,4,6,8,10...이 있을 때 제1항은 2, 제 3항은 6이 됩니다. 이것은 로도 나타낼 수 있습니다. 즉 a_n은 수열 a의 n번째 항을 뜻합니다. 마치 함수 f(x)와 비슷합니다. 함수 f(x)의 f는 함수의 이름, x는 변수 x를 나타내기 때문입니다. 2. 일반항 일반항이란, 수열에서 n번째 항을 의미합니다.n은 자연수로 수열의 모든 항을 n에 대한 식으로 나타낸.. 2020. 8. 12.
곱셈공식, 제곱공식, 완전제곱식, 합차공식 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 제곱근의 덧셈과 뺄셈 📄 [중3-1] 다항식의 곱셈 | 중학교 곱셈공식 중학교 3학년 수학에서 공부하는 곱셈공식은 다음과 같습니다. 1번과 2번은 완전제곱식으로, 완전히 같은 두 다항식이 제곱의 형태로 묶여 있는 식입니다. 3번은 합차공식으로, 두 다항식의 항은 서로 같지만 하나의 항은 덧셈기호로, 다른 항은 뺄셈 기호로 연결되어 있는 식입니다. 다섯가지 곱셈공식을 적용해서 문제를 풀어봅시다. 이 문제는 (a+b)^2 꼴 완전제곱식을 전개하는 문제입니다. 이 문제는 (a-b)^2 꼴을 전개하는 문제입니다. 이 문제는 합차공식을 적용하는 문제입니다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 이번 학습지는 곱셈 공식이 다섯 가지이고, 여러 문제를 풀어보아야 하기 때.. 2020. 8. 11.
[수학I] 16. 삼각함수(sin,cos,tan)의 그래프, 사인 코사인 탄젠트 개형(개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [수학I] 삼각함수의 뜻, 삼각비 📄 [수학I] 삼각함수 사이의 관계 | y= sinx의 그래프 (사인함수) [정리] 사인함수 (y=sinx)의 특징 1. 정의역과 치역 - 정의역 : 실수 전체의 집합 - 치역 : { y | -1 ≤ y ≤ 1 } 2. 주기가 2π sin(x) = sin(2nπ+x) (단 n은 정수) 3. 원점에 대하여 대칭 sin(x) = -sin(-x) 먼저 사인함수는 원점에 대하여 대칭인 함수로, 실수 전체에 대하여 2π마다 함숫값을 같이 합니다. 원점 (0,0), (π/2, 1), (π,0), (3π/2,-1)을지납니다. | y= cosx의 그래프 (코사인함수) [정리] 코사인함수 (y=cosx)의 특징 1. 정의역과 치역 - 정의역 : 실수 전체의 집.. 2020. 8. 11.
다항식의 곱셈, (a+b)(c+d) 전개하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중2-1] 다항식의 계산 📄 [중2-1] 이차식의 덧셈과 뺄셈 | 다항식의 곱셈 : (다항식)×(다항식) 다항식의 곱셈은 (다항식)×(다항식)꼴로, 분배법칙을 이용하여 전개할 수 있습니다. 예) (a+b)(c+d)를 전개해봅시다. 1. 첫 번째 방법 a+b를 X로 고치면, X(c+d) 분배법칙을 적용하면,cX+dXX=a+b이므로, c(a+b)+d(a+b)=ac+bc+ad+bd 2. 두 번째 방법 c+d를 Y로 고치면, (a+b)Y 분배법칙을 적용하면,aY+bYY=c+d이므로, a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd 따라서 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd 예) (3x-2y)(x+y)를 전개하면, 3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 3xy와 -2xy는 .. 2020. 8. 10.
[초3-2] 8. 받아내림이 없는 (몇십)÷(몇) 나눗셈 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [초3-1] 나눗셈 | 몇십을 몇으로 나누기 : 묶음으로 생각하기 (몇십)÷(몇)은 10묶음이 몇개인지 생각하면 몫을 구할 수 있습니다. 30÷3을 생각해봅시다. 30은 10묶음이 3개입니다. 10묶음 3개를 3으로 똑같이 나누면 10묶음이 몇 개일까요? 10묶음이 한 개로, 몫은 10입니다. 80÷2를 생각해봅시다. 80은 10묶음이 8개입니다. 10묶음 8개를 2로 똑같이 나누면, 10묶음은 4개입니다. 따라서 몫은 40입니다. [정리] 받아내림이 없는 (몇십)÷(몇) 1. 나누어지는 수가 십 모형이 몇 개인지 구한다. 2. 모형의 개수를 몇으로 나눈다. 3. 몫을 구한다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 2단원 나눗셈에서는 (두 자리 수)÷(한 자리 수), (.. 2020. 8. 10.
[수학I] 15. 삼각함수 공식 : 삼각함수 사이의 관계, 삼각함수 변환 (개념+수학문제) [2020-09-23] 수정 학습지 빠른 정답의 일부 내용이 문제와 달라 수정하였습니다. | 같이 보면 좋은 글 📄 [수학I] 삼각함수(sin,cos,tan)의 뜻 | 삼각함수 사이의 관계 [정리] 삼각함수 사이의 관계는 다음과 같습니다. [정리] 삼각함수는 동경이 나타내는 사분면에 따라 부호가 정해집니다. 제 1사분면 : 모두(sinθ,cosθ,tanθ) 양수 제 2사분면 : sinθ이 양수 제 3사분면 : tanθ가 양수 제 4사분면 : cosθ이 양수 | 삼각함수 변환하기 삼각함수를 다른 삼각함수로 고쳐봅시다. 이 문제는 코사인 값을 이용해 사인 값을 구한 뒤, 두 값을 바탕으로 탄젠트 값을 구해야 합니다. 위 방법으로 문제를 풀면 다음과 같습니다. 이 문제는 탄젠트 값을 바탕으로 사인과 코사인 값.. 2020. 8. 9.

 

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