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수학 학습지/고등수학(하)9

[순열과 조합] 조합(Combination) 연산 연습문제 34제 | 고등수학(하) * 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(하)] 순열 (개념+수학문제) 📄 [중2-2] 14. 경우의 수 (4) : 대표를 뽑는 경우의 수 (개념+수학문제) * 조합(Combination) 조합이란, 주어진 개수에서 순서 없이 뽑는 경우의 수를 말합니다. 순열이 순서 있이 뽑는 것이라면, 조합은 순서가 없다는 특징이 있습니다. 예) 4명의 학생 중 달리기 대표 2명을 뽑는 경우의 수 예) X={1,2}, Y={1,2,3,4}에 대하여 X에서 Y로의 함수 f가 일대일함수일 때 서로 다른 f의 개수 Y의 원소 1,2,3,4 중 2가지를 선택해야 하므로 조합 상황입니다. n개 중 순서 없이 a개를 뽑는 경우의 수는 $_n C _a$로 표현합니다. $_n C _a$를 계산하기 위해서는 다음과 같은 방법으로 구해야 .. 2022. 5. 19.
[고등수학(하)] 순열 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(하)] 집합의 포함관계, 부분집합, 진부분집합 (개념+수학문제) 📄 고등수학(하) 수학 학습지 모음 * 순열 순열이란, 경우의 수 중 다음과 같은 상황을 말합니다. 서로 다른 n개 중 a개를 뽑아 일렬로 나열한다. 예를 들어, 5명의 학생 중 2명을 뽑아 한 명은 회장, 한 명은 부회장을 뽑는다고 생각해봅시다. 이 상황은 2명을 일렬로 나열했을 때 앞에 선 학생을 회장, 뒤에 선 학생을 부회장이라고 생각한다면 순열 상황이라고 볼 수 있습니다. 서로 다른 n개 중 a개를 뽑아 일렬로 나열하는 경우의 수는 $_{n} P _{a}$ 라고 표현합니다. 위 상황은 $_{5} P _{2}$라고 생각할 수 있습니다. 순열은 어떻게 계산할 수 있을까요? $_{5} P _{2}$는 .. 2022. 5. 10.
[고등수학(하)] 집합의 포함관계, 부분집합, 진부분집합 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(하)] 집합의 뜻과 표현 (개념+수학문제) * 집합의 포함관계 ● 집합의 포함관계 두 집합 $A,B$가 있습니다. $A =\{1,2\}$이고 $B = \{1,2,3\}$일 때 집합 A와 집합 B의 포함관계는 어떨까요? 집합 A의 원소 1에 대하여 $1 \in B$가 성립합니다. 집합 A의 원소 2에 대하여 $2 \in B$가 성립합니다. 집합 A의 모든 원소가 집합 B의 원소이므로 A는 B에 포함됩니다. 이를 $A ⊂ B$라고 표현합니다. [참고] $A ⊂ B$이고 $B ⊂ A$라면, 두 집합 A,B의 원소는 서로 같습니다. 이를 두 집합이 서로 같다고 하며, $A=B$라고 표현합니다. ● 부분집합 이처럼 두 집합 $A,B$에 대하여 $ A ⊂ B $라면, $A$는 .. 2022. 5. 7.
[고등수학(하)] 집합과 명제 (1): 집합의 뜻과 표현 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(하)] 1. 함수와 그래프 > 정의역, 공역, 치역 (개념+수학문제) 📄 [고등수학(하)] 2. 함수와 그래프 > 서로 같은 함수, 함수의 상등, f(x)=g(x) (개념+수학문제) * 집합의 뜻과 표현 1. 집합이란? 집합이란, 조건에 따라 분명하게 결정할 수 있는 것(대상)들의 모임을 뜻합니다. 이때, 조건이 분명해야 한다는 점이 중요합니다. 사람의 주관에 따라 달라지는 조건으로는 집합을 만들 수 없습니다. 예를 들어볼까요? A를 10보다 작은 자연수의 모임이라고 생각해봅시다. ● 1은 A의 대상이라고 볼 수 있습니다. 1은 10보다 작기 때문입니다. ● 10은 A의 대상이라고 볼 수 없습니다. 10은 10보다 작지 않기 때문입니다. 반면 B를 키가 큰 사람들의 .. 2022. 4. 7.
[고등수학(하)] 5. 역함수 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 일대일함수, 일대일대응 📄 합성함수 * 역함수 집합 X의 원소 x를 집합 Y의 원소 y에 대응시키는 규칙을 함수 f라고 할 때,y=f(x)가 성립합니다. 만약 함수 f가 일대일대응이라면,집합 Y를 정의역, 집합 X를 치역으로 하는 규칙이 성립합니다. 이때 함수를 f의 역함수라고 부르고 로 나타냅니다. * 역함수를 구하는 법 역함수의 대응 방향은 원래 함수의 방향과 반대입니다. 따라서 함수 f(x)를 x에 대하여 푼 뒤, x 자리에 y를 y 자리에 x를 넣어 교체합니다. 그 다음 y=(x에 대한 식)으로 정리하면 역함수를 구할 수 있습니다. 예) 함수 y= x+1의 역함수를 구하시오. 예) [참고] 함수 y=f(x)에 대하여 y=2가 대응되게 하는 x의 값을 구하여도 됩니다. 함.. 2020. 12. 23.
[고등수학(하)] 4. 합성함수 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 함수의 뜻, 정의역, 공역, 치역 📄 일대일함수, 일대일대응 * 합성함수 두 함수 f,g에 대하여 다음과 같이 합성함수를 정의할 수 있습니다. [참고] 합성함수 g∘f가 성립하기 위해서는 f의 치역이 g의 정의역의 부분집합이어야 합니다. 따라서 세 집합이 유한집합인 경우, 위 조건을 만족하는지 확인해볼 필요가 있습니다. [참고] 대부분 정의역과 치역은 실수 전체의 집합을 주게 되는데, 실수 전체의 집합은 서로 같으므로 부분집합을 만족합니다. 따라서 실수 범위의 정의역과 치역이 주어진다면, 위 조건을 따질 필요가 없습니다. [참고] 합성함수 g ∘ f는 f ∘ g와 같지 않습니다. g ∘ f ≠ f ∘ g 다시 말해, 합성함수에서는 교환법칙이 성립하지 않습니다. [참고] 합성함수.. 2020. 12. 10.
[고등수학(하)] 3. 함수와 그래프 > 일대일함수와 일대일대응 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 함수의 뜻, 정의역, 공역, 치역 📄 서로 같은 함수, f=g, 함수의 상등 * 일대일함수 일대일함수란, 정의역의 각 원소에 대하여 서로 다른 치역의 원소와 대응하는 함수를 말합니다. 예) X={1,2,3} Y={1,2,3,4,5,6}에 대하여 X를 정의역으로, Y를 공역으로 갖는 함수 y=2x는 다음과 같은 대응 관계를 가집니다. x=1, y=2 x=2, y=4 x=3, y=6 이때, x의 값이 서로 다르더라도 대응하는 y값은 겹치지 않습니다. 치역 {2,4,6}의 각 원소는 서로 다른 x값과 대응합니다. 따라서 함수 y=2x는 일대일함수입니다. 예) X={-1,0,1} Y={0,1}에 대하여 X를 정의역으로, Y를 공역으로 갖는 함수 y=|x|는 다음과 같은 대응 관계를 가.. 2020. 12. 3.
[고등수학(하)] 2. 함수와 그래프 > 서로 같은 함수, 함수의 상등, f(x)=g(x) (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 함수의 뜻, 정의역, 공역, 치역 * 서로 같은 함수(함수의 상등) 두 함수 가 있습니다. 두 함수는 서로 같은 함수일까요? 두 함수는 서로 같을수도, 다를 수도 있습니다. 중학교 때 이차함수의 그래프를 생각해보면 서로 다른 그래프를 나타낼텐데 왜 같을 수도 있을까요? 왜냐하면 두 함수의 정의역이 주어지지 않았기 때문입니다. 정의역의 모든 원소에 대하여 두 함수의 함숫값이 서로 같다면, 두 함수는 서로 같은 함수입니다. 조금 더 어려운 용어로는 함수의 상등이라고도 합니다. 의 정의역이 {-1,0}이라면 두 함수는 같을까요? 정의역의 두 원소를 함수에 각각 대입해보면 f(-1) = 1-3 = -2 g(-1) = 2-4 = -2 f(0)= 0 g(0)=0 으로 f(-1)=g(-1).. 2020. 11. 28.
[고등수학(하)] 1. 함수와 그래프 > 정의역, 공역, 치역 (개념+수학문제) * 함수 함수는 두 집합 사이의 관계를 나타낸 것으로, 수학에서는 대응 관계라고 부릅니다. 두 집합 X와 Y에 대하여 집합 X의 원소 x와 집합 Y의 원소 y가 짝지어지는 것을 대응이라고 부르고 기호로는 x → y 로 나타냅니다. 함수는 집합 X의 각 원소가 집합 Y의 원소와 하나씩 대응되는 관계입니다. 위 그림에서 X의 원소 1은 Y의 원소 1과 X의 원소 2는 Y의 원소 3과 X의 원소 3은 Y의 원소 5와 X의 원소 4는 Y의 원소 2와 대응됩니다. 따라서 위 대응관계는 함수입니다. 위 그림에서 X의 원소 1은 Y의 원소 1과 X의 원소 2는 Y의 원소 3과 X의 원소 3은 Y의 원소 4,5와 X의 원소 4는 Y의 원소 2와 대응됩니다. 따라서 위 대응관계는 함수가 아닙니다. 위 그림에서 X의 원소.. 2020. 11. 22.

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