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수학 학습지/중학교 3학년 1학기24

[중3-1] 이차함수의 꼭짓점, 축의 방정식 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 [교과서 목차 + 요점정리/중학교 3학년] - 중학교 3학년 1학기 수학 교과서 목차 (최신판) 📄 [수학 개념 + 수학학습지/중학교 3학년 1학기] - 이차함수의 그래프 (개념+수학문제) * 이차함수의 꼭짓점 이차함수는 포물선 모양의 그래프를 가집니다. $ y = a x^2 + bx +c $ 에 대하여 a>0이면 아래로 볼록, a 2022. 4. 4.
중학교 인수분해 연습문제 100문제 계산학습지 (심화편) * 보충 학습지 이 학습지는 '보충 학습지로' 과거 프리미엄 학습지로 운영했던 자료입니다. 정규 학습지에서 더 풀어보고 싶거나 새로운 유형을 풀고 싶으실 때 활용하시면 좋겠습니다. * 자료 설명 이 자료는 중학교 3학년 수준의 인수분해 식 중 계수의 절댓값이 큰 식 위주로 다루었습니다. 복잡한 이차식도 인수분해할 수 있어야 하기 때문에, 기본편을 풀어보시고 도전해보시길 바랍니다. 모두 100문항으로, 시험을 준비하거나 학습지도를 하실 때 부족함이 없도록 하였습니다. 중학교 3학년 페이지의 자료를 활용하시면 더 효과적일 것으로 기대합니다. * 학습지 미리보기 4번처럼 기본편 유형도 섞여있지만, 9번과 같이 새로운 숫자(196)를 볼 수 있습니다. 20번과 같이 (ax+b)(cx+d) 유형도 수록하여 어떻게.. 2021. 4. 22.
중학교 3학년 1학기 > 인수분해 종합 연산연습 100문제 (기본편) * 보충 학습지 이 학습지는 '보충 학습지로' 과거 프리미엄 학습지로 운영했던 자료입니다. 정규 학습지에서 더 풀어보고 싶거나 새로운 유형을 풀고 싶으실 때 활용하시면 좋겠습니다. 공감 및 댓글은 저에게 큰 힘이 됩니다. * 자료 설명 이 학습지는 중학교 3학년 1학기 수학 중 인수분해 연산을 위한 문제입니다. 모두 이차식을 인수분해하는 내용으로 담았고, 숫자를 간단히 하여 인수분해의 의미를 다지는 데 중점을 두었습니다. 복잡한 인수분해는 인수분해 종합 연산연습 100 심화편 학습지로 4월 22일 목요일에 공유할 예정입니다. 출제한 인수분해의 유형은 다음과 같습니다. 1) (a+b)^2, (a-b)^2 완전제곱식꼴로 인수분해하기 2) (a+b)(a-b) 합차공식을 이용해 인수분해하기 3) (x+a)(x+.. 2021. 4. 20.
[중3-1] 21. 인수분해 유형연습 (2) : 완전제곱식, a^2+2ab+b^2 * 같이 보면 좋은 글 📄 곱셈공식 📄 (x+a)(x+b)꼴로 인수분해하기 * 완전제곱식으로 인수분해하기 완전제곱식 a^2+2ab+b^2 또는 a^2-2ab+b^2꼴은 (a+b)^2와 (a-b)^2로 인수분해할 수 있습니다. 그림으로 이해해보기 a^2 1개, ab 2개, b^2 1개를 정사각형으로 만들어봅시다. 이때, 한 변의 길이가 (a+b)인 정사각형이 됩니다. 예) * 학습지 미리보기 * 첨부파일 * 닫는 말 이번 학습지 또한 인수분해 유형 학습지로, 완전제곱식으로 만들어지는 식만을 담았습니다. (문제 풀이 과정을 고려해 한 페이지에 10문제씩 담았습니다.) 오타, 문제 오류는 환영입니다. 양질의 컨텐츠가 될 수 있도록 도와주세요. ✔ 이 글이 도움이 되셨나요? - 댓글이나 자유게시판에 글을 남겨주.. 2021. 4. 17.
[중3-1] 20. 인수분해 유형연습 (1) : (x+a)(x+b)꼴로 인수분해하기 | 연습문제 30문제 * 같이 보면 좋은 글 📄 인수분해 * (x+a)(x+b)꼴로 인수분해하기 (x+a)(x+b)꼴로 인수분해하는 방법은 다음과 같습니다. [1단계] 합이 일차항의 계수, 곱이 상수항인 두 수를 찾는다. [2단계] 두 수를 상수항으로 가지는 인수의 곱으로 나타낸다. [3단계] 인수분해한다. 예) 을 인수분해해봅시다. [1단계] 합이 3, 곱이 2인 두 수는 1과 2입니다. 1+2=3 1×2=2 [2단계] 1과 2를 각각 상수항으로 갖는 두 인수를 구합니다. x에 대한 이차식이었으므로 인수는 각각 x+1, x+2가 됩니다. [3단계] 인수분해하면 (x+1)(x+2)입니다. 인수분해의 개념과 공식은 다음 글에서 자세히 다루었으니, 참고바랍니다. calcproject.tistory.com/466 인수분해 (개념+.. 2021. 4. 13.
근호 안의 완전제곱식 풀기 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 제곱근의 의미, 제곱근 구하기 📄 근호의 의미, a의 제곱근, 제곱근 a * 근호 안의 완전제곱식 근호 안의 완전제곱식은 미지수의 범위에 따라 값이 달라집니다. 이는 완전제곱식은 항상 0보다 크거나 같기 때문입니다. 대응하는 값이 항상 0이상이므로 a가 0 또는 양수라면 근호와 제곱을 벗겨내면 됩니다. a가 음수라면 a앞에 -기호를 붙여 양수로 만들어야 합니다. 이 원리는 절댓값을 구할 때 원리와 동일합니다. 그래서 근호 안의 완전제곱식은 절댓값으로 고쳐 풀 수도 있습니다. 예) 예) 만약에 a의 범위가 주어지고 제곱근 안에 완전제곱식이 주어진다면, 그 식은 하나의 식으로 간단히 나타낼 수 있습니다. * 학습지 미리보기 * 첨부파일 * 닫는 말 완전제곱식에 근호가 씌워진 유형은.. 2021. 1. 3.
이차함수의 평행이동 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 이차함수의 그래프 📄 이차함수의 함숫값 * 이차함수의 평행이동 [정리] 이차함수 y=ax^2를 평행이동하면 다음과 같습니다. 예) 예) 예) * 학습지 미리보기 * 첨부파일 * 닫는 말 이번 학습지는 이차함수의 그래프를 평행이동했을 때 함수의 식을 구하거나, 미지수를 구하거나, y축과 만나는 점의 좌표를 구하는 문항으로 구성했습니다. 총 20문제이며, 문제를 해결해보면서 이차함수의 평행이동을 익혀봅시다. ✔ 저작물 관련 유의사항 - 본 저작물(문제 및 그림)은 학습지 제작소에 있으며, 비상업적, 상업적 이용이 가능합니다. - 저작물을 사용 시 출처를 밝힌 후, 자유롭게 사용이 가능합니다. - 학습지제작소의 저작물을 2차 배포하거나, 제 3자에게 제공하거나, 또는 출판하는 행위(.. 2020. 9. 20.
이차함수의 그래프 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 이차함수의 함숫값 | 이차함수의 그래프 (1) y=x^2, y=-x^2의 그래프 이차함수의 그래프는 포물선 모양으로, 이차항의 계수가 양수라면 아래로 볼록 이차항의 계수가 음수라면 위로 볼록합니다. 위 그림에서 파란색 그래프는 의 그래프입니다. 그래프를 분석해보면, * 개형: 아래로 볼록 * 정의역 : { x | x는 실수 전체의 집합 } * 치역 : { y | y ≥ 0 } * 대칭축 : x=0 (y축) * 꼭짓점 : (0,0) 입니다. 반면 위 그림에서 빨간색 그래프는 의 그래프입니다. 그래프를 분석해보면, * 개형: 위로 볼록 * 정의역 : { x | x는 실수 전체의 집합 } * 치역 : { y | y ≤ 0 } * 대칭축 : x=0 (y축) * 꼭짓점 : (0,0) 입.. 2020. 9. 14.
이차함수의 뜻과 함숫값 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 이차방정식의 풀이 (1) : 인수분해 📄 이차방정식의 풀이 (2) : 완전제곱식, 근의 공식 📄 이차방정식의 공통근 | 이차함수 (1) 이차함수의 뜻 이차함수란, 변수 x와 y에 대하여 y=(x에 대한 이차식) 으로 나타낼 수 있는 함수를 뜻합니다. 예) ㄱ~ㄹ 중 이차함수를 찾아봅시다. ㄱ에서 좌항은 y, 우항은 x에 대한 일차식입니다. 따라서 ㄱ은 이차함수가 아닙니다. ㄴ에서 좌항은 x, 우항은 y에 대한 이차식입니다. 그런데, y=(x에 대한 이차식)이 아니므로 ㄴ은 이차함수가 아닙니다. ㄷ에서 좌항은 y, 우항은 x에 대한 이차식입니다. 따라서 이차함수입니다. ㄹ에서 좌항은 y, 우항을 전개하면 x^2-2x+2입니다. 따라서 이차함수입니다. 따라서 ㄱ~ㄹ 중 이차함수는 .. 2020. 9. 6.
공통근 : 두 이차방정식이 공통으로 갖는 해 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 이차방정식의 풀이 (1) : 인수분해 📄 [중3-1] 이차방정식의 풀이 (2) : 완전제곱식, 근의 공식 | 공통근 몇몇의 두 이차방정식은 공통인 근을 갖는 경우가 있습니다. 하나의 이차방정식은 서로 다른 근을 가지거나 중근을 가지는데, 두 이차방정식 중에 하나의 근이 겹칠 수 있습니다. 중학교 수학에서는 두 이차방정식을 주고 공통근에 대한 물음을 하는 경우가 있습니다. 두 이차방정식의 공통근을 찾는 방법은 다음과 같습니다. [정리] 이차방정식의 공통근 (1) 두 이차방정식을 각각 푼다. (2) 두 이차방정식의 공통인 해를 찾는다. (3) 공통근을 말한다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 공통근을 구하기 위해서는 두 개의 이차방정식을 풀어야 합니다. 하.. 2020. 8. 31.
근의 공식 - 이차방정식의 뜻과 풀이 (2) (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 이차방정식의 풀이 (1) : 인수분해 | 완전제곱식을 이용한 이차방정식의 풀이 이차방정식은 인수분해를 이용한 풀이 외에도 완전제곱식을 이용하여 풀 수 있습니다. 좌변을 완전제곱식으로 만든 후 제곱근을 구하면 서로 다른 두 실근을 구할 수 있습니다. | 근의 공식 완전제곱식을 이용하면 근의 공식을 유도할 수 있습니다. 근의 공식은 이차방정식의 계수를 가지고 해를 구하는 공식을 뜻합니다. 근의 공식을 유도하는 과정은 다음과 같습니다. [정리] 이차방정식 ax^2+bx+c=0에 대하여 실근 x는 [참고] 이차방정식 ax^2+bx+c=0에 대하여 b가 짝수일 때 실근 x는 이 공식은 짝수공식이라고도 불리며, 일차항의 계수가 짝수일 때 쓸 수 있는 공식입니다. (b'는 b를.. 2020. 8. 25.
이차방정식의 뜻과 풀이 (1) : 인수분해를 이용한 해 구하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 인수분해 | 이차방정식 (1) 이차방정식의 뜻 이차방정식이란 (미지수에 대한 이차식)=0 꼴로 나타낼 수 있는 방정식을 의미합니다. 방정식에서 미지수는 흔히 x를 사용하기 때문에 (x에 대한 이차식)=0 꼴로 생각해도 좋습니다. 여러 가지 식의 이차방정식을 판정하면 다음과 같이 판정합니다. (2) 이차방정식의 해 일차방정식의 해는 방정식이 참이 되게 하는 미지수의 값을 의미했습니다. 예를 들어 일차방정식 x+4=7의 해는 x=3이었습니다. 실제로 x=3을 방정식에 대입하면 3+4=7이 됩니다. 이차방정식에도 해라는 개념이 있습니다. 일차방정식과 마찬가지로 이차방정식이 참이 되게 하는 x의 값을 말합니다. 그러나 이차방정식은 해가 2개일 수도, 하나로 겹칠수도, 없을.. 2020. 8. 24.
인수분해 (개념+공식+연습문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 다항식의 곱셈 📄 [중3-1] 곱셈공식 | 인수분해 (1) 인수의 뜻 소인수분해는 자연수를 소수의 곱으로 나타내는 것을 말했습니다. 여기서 소인수는 소수로, 소수의 곱으로 표현했을 때 그 수를 의미했습니다. 예를 들어, 10=2×5이므로, 10의 소인수는 2와 5입니다. 소인수와 인수의 이름이 비슷한 것처럼, 두 개념의 뜻 역시 서로 비슷합니다. 인수란, 하나의 다항식이 둘 이상의 다항식의 곱으로 나타낼 수 있을 때 각 다항식을 말합니다. 예를 들어, 3x+6은 3과 x+2의 곱으로 나타낼 수 있습니다. 따라서 3x+6의 인수는 3과 x+2입니다. 어찌보면 약수와도 비슷한 점이 있습니다. (2) 인수분해의 뜻 인수분해란, 다항식을 인수의 곱으로 나타내는 과정을 말합.. 2020. 8. 21.
곱셈공식을 활용한 수의 계산, 분모의 유리화 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 곱셈공식 📄 [중3-1] 분모의 유리화 | 곱셈공식을 활용한 수의 계산 완전제곱식을 비롯한 곱셈공식을 이용하면, 복잡한 자연수의 곱셈을 쉽게 계산할 수 있습니다. 자연수의 곱셈에서 사용할 수 있는 곱셈공식은 크게 네 가지 입니다. 이 중 1~4번은 자연수의 곱셈에 대입하면 계산이 수월해지는 공식들입니다. 예) 102×102를 계산해봅시다. a=100, b=2로 놓으면 (a+b)×(a+b)로 나타낼 수 있습니다. 이는 완전제곱식이므로, 전개한 공식을 대입해봅시다. a^2 = 100×100 = 10000 (^2는 제곱을 나타냅니다.) 2ab = 2×100×2 = 400b^2 = 2×2 = 4 10000+400+4 = 10404 따라서 102×102 = 10404입니다... 2020. 8. 17.
곱셈공식, 제곱공식, 완전제곱식, 합차공식 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 제곱근의 덧셈과 뺄셈 📄 [중3-1] 다항식의 곱셈 | 중학교 곱셈공식 중학교 3학년 수학에서 공부하는 곱셈공식은 다음과 같습니다. 1번과 2번은 완전제곱식으로, 완전히 같은 두 다항식이 제곱의 형태로 묶여 있는 식입니다. 3번은 합차공식으로, 두 다항식의 항은 서로 같지만 하나의 항은 덧셈기호로, 다른 항은 뺄셈 기호로 연결되어 있는 식입니다. 다섯가지 곱셈공식을 적용해서 문제를 풀어봅시다. 이 문제는 (a+b)^2 꼴 완전제곱식을 전개하는 문제입니다. 이 문제는 (a-b)^2 꼴을 전개하는 문제입니다. 이 문제는 합차공식을 적용하는 문제입니다. | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 이번 학습지는 곱셈 공식이 다섯 가지이고, 여러 문제를 풀어보아야 하기 때.. 2020. 8. 11.
다항식의 곱셈, (a+b)(c+d) 전개하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중2-1] 다항식의 계산 📄 [중2-1] 이차식의 덧셈과 뺄셈 | 다항식의 곱셈 : (다항식)×(다항식) 다항식의 곱셈은 (다항식)×(다항식)꼴로, 분배법칙을 이용하여 전개할 수 있습니다. 예) (a+b)(c+d)를 전개해봅시다. 1. 첫 번째 방법 a+b를 X로 고치면, X(c+d) 분배법칙을 적용하면,cX+dXX=a+b이므로, c(a+b)+d(a+b)=ac+bc+ad+bd 2. 두 번째 방법 c+d를 Y로 고치면, (a+b)Y 분배법칙을 적용하면,aY+bYY=c+d이므로, a(c+d)+b(c+d)=ac+ad+bc+bd 따라서 (a+b)(c+d) = ac+ad+bc+bd 예) (3x-2y)(x+y)를 전개하면, 3x^2 + 3xy - 2xy - 2y^2 3xy와 -2xy는 .. 2020. 8. 10.
제곱근(무리수)의 덧셈과 뺄셈 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 제곱근의 곱셈 📄 [중3-1] 제곱근의 나눗셈, 분모의 유리화 | 제곱근의 덧셈과 뺄셈 제곱근이 들어간 식은 곱셈식과 나눗셈식 말고도 덧셈식과 뺄셈식이 있습니다. 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 곱셈과 나눗셈과 다르게, 근호 안의 수가 서로 다르다면 더 이상 계산할 수 없습니다. [정리] 제곱근의 덧셈과 뺄셈은 다음과 같은 방법으로 계산합니다. 1. 각 항을 정리하여 a√b꼴로 나타내기 (a는 유리수, b는 소수(2,3,5... 등)) 2. 근호 안의 수가 같은 경우 더하거나 빼 하나로 나타내기 예) 2√3+3√3=5√3 3. 근호 안의 수가 서로 다른 경우 더하거나 빼지 않기 여러 가지 예제를 풀어보면서 제곱근의 덧셈과 뺄셈을 익혀봅시다. 예제 1) 모든 항의 근호 안의 .. 2020. 8. 4.
제곱근의 나눗셈, 분모의 유리화 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 제곱근의 곱셈 | 제곱근의 나눗셈 제곱근의 나눗셈은 유리수의 나눗셈과 마찬가지로, 곱셈식에서 나눗셈식으로 고쳐 만들 수 있습니다. [정리] 제곱근의 나눗셈을 제곱근의 곱셈에서 유도하면 다음과 같습니다. 예) $\sqrt{15} \div \sqrt{5}$ $= \sqrt{15} \times \cfrac {1}{\sqrt{5}}$ 그런데 $\sqrt{15} = \sqrt{3} \times \sqrt{5}$이므로 $\sqrt{15} \div \sqrt{5} = \sqrt{3}$ 예) $\sqrt{3} \div \sqrt{6}$ $= \sqrt{3} \times \cfrac{1}{\sqrt{6}}$ $= \cfrac{1}{\sqrt{2}}$ | 분모의 유리화 분모가 무리수.. 2020. 8. 1.
제곱근의 곱셈, a√b(a루트b)꼴로 나타내기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중3-1] 무리수의 뜻, 제곱근표 | 제곱근의 곱셈 a,b가 양수일 때, √a√b = √ab입니다. 예를 들어, 다음과 같은 식이 있습니다. [정리] 근호 안의 수가 모두 양수일 때 근호 안의 수를 곱해 곱을 구할 수 있다. | a√b꼴로 나타내기 제곱근의 곱셈을 이용하면 제곱근을 자연수와 제곱근의 곱으로 고칠 수 있습니다. 이 성질을 활용해 제곱근을 다르게 나타내봅시다. 루트 48의 근호 안의 자연수는 4×4×3입니다. 이를 거듭제곱으로 표현하면 다음과 같습니다. 거듭제곱수의 근호는 지울 수 있으므로, 입니다. 마찬가지로 루트 300을 a√b꼴로 나타내어봅시다. [정리] a와 b가 양수일 때 | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 근호 안의 수는 a√b로 나타내어 줄 .. 2020. 7. 21.
무리수의 뜻 의미, 제곱근표를 이용해 무리수의 값 구하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중1-1] 유리수의 의미 📄 제곱근표 PDF PNG 다운로드 | 무리수의 뜻 / 실수의 뜻 유리수는 두 정수 p,q(단 q는 0이 아닌 정수)에 대해 p/q로 나타낼 수 있는 모든 수입니다. 유리수는 유한소수이거나, 순환하는 무한소수로 순환마디를 이용해 나타낼 수 있었습니다. 그 중 순환하지 않는 무한소수는 유리수가 아님을 배웠습니다. 무리수는 중학교 2학년 때 배웠던, 순환하지 않는 무한소수를 의미합니다. 정수를 분자와 분모로 가지는 분수로 나타낼 수 없는 수가 곧 무리수입니다. 앞서 학습했던 √3, -√10이나, 원주율(π)은 순환하지 않는 무한소수로, 무리수라고 부릅니다. 단, √4나 √0.01등 근호를 풀었을 때 유리수가 되는 수는 유리수입니다. 실수는 유리수와 무리수.. 2020. 7. 16.

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