[중3-1] 이차함수의 꼭짓점, 축의 방정식 (개념+수학문제)

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* 이차함수의 꼭짓점

이차함수는 포물선 모양의 그래프를 가집니다.

$ y = a x^2 + bx +c $

에 대하여 a>0이면 아래로 볼록, a<0이면 위로 볼록한 모양이 됩니다.

그리고 포물선 모양은 꼭짓점을 가집니다.

 

이차함수의 꼭짓점을 찾는 방법

  ① 완전제곱식으로 만듭니다.

    예) $ y = x^2 + 4x +3$은 $y=(x+2)^2 -1$로 생각할 수 있습니다.

  ② 소괄호 ()안의 값이 0이 되도록 하는 x의 값을 찾습니다.

    예) $y=(x+2)^2 -1$에서 ()안의 값이 0이 되도록 하는 값은 $x=-2$입니다.

  ③ ②번에서 찾은 x값을 함수에 대입해 y값을 얻습니다.

    예) $y=(x+2)^2 -1$에서 $x=-2$를 대입하면 $y=-1$입니다.

  ④ 꼭짓점의 좌표를 얻습니다.

    예)꼭짓점의 좌표는 $(-2,-1)$입니다.  

 

[정리] 이차함수 $y = a(x-p)^2+q$에 대하여 꼭짓점의 좌표는 $(p,q)$입니다.

    예) $y=(x-3)^2+1$의 꼭짓점의 좌표는 (3,1)입니다.

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* 이차함수의 축의 방정식

포물선은 꼭짓점을 가지기도 하지만, 대칭축으로 접으면 포개어지기도 합니다.

이 축은 y축과 일치하거나 평행하죠.

따라서 이차함수의 축의 방정식은 $x=k$로 생각할 수 있습니다.

 

그렇다면 $k$의 값은 어떻게 찾을 수 있을까요?

꼭짓점의 위치를 생각하면 쉽게 찾을 수 있습니다.

 

이 그림에서 대칭축을 생각해보면 모두 꼭짓점을 지납니다.

그리고 축의 방정식은 $x=k$꼴입니다.

달리 생각하면 $x=(꼭짓점의 x좌표)$라고 생각할 수 있습니다.

 

예를 들어볼까요? $y=-x^2+4x$를 생각해봅시다.

이 이차함수는 $y=-(x^2-4x)$와 같고, $y=-(x^2-4x+4-4)$, $y=-(x-2)^2+4$라고 생각할 수 있습니다.

따라서 꼭짓점은 $(2,4)$입니다.여기에서 축의 방정식을 구하면 $x=2$입니다.

 

이차함수 $y=a(x-p)^2+q$에서 꼭짓점과 축의 방정식

  ① 꼭짓점: $(p,q)$

  ② 축의 방정식: $x= p$

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* 첨부파일

2022TS M3-01(이차함수의 꼭짓점, 축의 방정식).pdf

0.12MB

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* 닫는 말

이번 시간에는 중학교 3학년 이차함수의 꼭짓점과 축의 방정식을 공부해보았습니다. 연습문제를 풀어보며 함수에 대해 공부해보시길 바랍니다. 사분면과 같이 기존에 배웠던 내용과도 연계하여 문제를 만들어보았으니, 폭넓게 공부해보시길 바랍니다. 이상으로 포스팅을 마치겠습니다. 감사합니다.

 

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