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수학 학습지/수학II9

[수학2] 부정적분 (개념+수학문제) | 다항함수의 부정적분 연습문제 * 같이 보면 좋은 글 📄 미분계수, 순간변화율 구하기 (개념+수학문제) 📄 다항함수의 미분, 도함수의 함숫값 (개념+수학문제) * 부정적분의 의미 어떤 함수 $f(x)$가 다른 함수 $F(x)$의 도함수일 때, 함수 $F(x)$는 $f(x)$의 원시함수입니다. 어떤 함수의 원시함수를 구하는 것을 부정적분이라고 부릅니다. 여기서 부정이란, 정해져 있지 않다는 뜻입니다. 왜 정해져 있지 않을까요? 만약 어떤 함수 $f(x)=x+1$이 있다고 생각해봅시다.이 함수가 $F(x)$의 도함수라면, 이 도함수를 미분했을 때 $F'(x)=x+1$이 되어야 합니다. 따라서 $F(x)= \frac{1}{2} x^2 + x + C$입니다. 문제는 상수 C가 정해져 있지 않다는 것입니다. $F(x)$는 C가 0, 1, -5.. 2022. 5. 2.
[수2] 다항함수의 미분, 도함수의 함숫값 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 [수학 개념 + 수학학습지/수학II] - 도함수의 의미와 구하는 법, 연습문제 (수학2) 📄 [수학 개념 + 수학학습지/수학II] - 미분계수, 순간변화율 구하기 (개념+수학문제) * 다항함수의 미분 [관련 기출문제] 2022대수능 수학 공통 2번 *학습지제작소는 저작권을 준수하기 위해 수능기출문제 풀이 및 자료 탑재를 하지 않습니다. 도함수는 다항함수를 미분한 함수를 의미합니다. 이전 포스팅에서 다루었던 내용을 요약하면 다음과 같습니다. 나아가 x의 값이 주어져있을 경우 도함수의 함숫값을 구할 수 있습니다. 거꾸로 생각하기 방법으로 문제를 풀어봅시다. 첫째, 이 문제는 도함수의 함숫값을 묻는 문제로 f'(1)의 값을 구해야 합니다. 둘째, f'(1)은 f'(x)에 x=1을 대.. 2022. 2. 16.
도함수의 의미와 구하는 법, 연습문제 (수학2) * 같이 보면 좋은 글 📄 순간변화율, 미분계수 📄 미분계수의 기하적 의미 : 접선의 기울기 * 도함수 도함수는 미분가능한 함수 f(x)에 대하여, h가 0으로 가까이 갈 때, (x, f(x)), (x+h, f(x+h))의 순간변화율을 나타낸 함수입니다. (미분가능한 함수에 대해서는 추후 '연속함수'와 함께 묶어서 설명하겠습니다.) 순간변화율(미분계수)는 극한값을 구하는 과정이라면, 도함수는 x에 대한 미분계수를 함수로 나타낸 것입니다. 이와 같이 미분가능한 함수의 도함수를 구하는 것을 미분이라고 합니다. 때문에 도함수를 구하는 과정은 미분계수와 유사합니다. 도함수는 y=x^n(x의 n제곱)의 도함수를 구할 수 있으면 간편하게 구할 수 있습니다. 우선 (x+h)의 제곱, 세제곱, 네제곱, n제곱을 내림차.. 2021. 2. 7.
접선의 기울기와 미분계수, 미분계수의 기하적 의미 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 평균변화율 📄 순간변화율, 미분계수 * 그래프의 접선의 기울기 기울기는 일차함수 y=ax+b에 대하여, (y의 증가량)을 (x의 증가량)으로 나눈 값을 말했습니다. 편의상 x의 계수인 a가 기울기와 같았죠. 이와 같이 좌표평면에서 직선은 하나의 기울기를 가집니다. 그렇다면 곡선에서는 어떨까요? 그림과 같이 곡선에서는 기울기를 조사하기 어렵습니다. 그렇지만 한 점의 접선에서는 기울기를 알 수 있습니다. 접선은 직선의 모양을 하고 있기 때문입니다. 앞서 미분계수에 대한 설명을 드렸을 때 아래 그림을 보여준 적이 있었습니다. 이때, b가 a에 가까이 갈수록 곡선의 접선과 비슷해짐을 알 수 있는데요, b가 a에 끝없이 가까워질 때, 점 (a,f(a))의 접선을 가지게 됩니다. 그리고 .. 2021. 1. 30.
미분계수, 순간변화율 구하기 (개념+수학문제) * 같이 보면 좋은 글 📄 함수의 극한 (2) : 극한의 성질 📄 평균변화율 * 순간변화율 평균변화율은 닫힌구간 [a,b]에서 평균적으로 변화하는 정도를 의미했습니다. 그렇다면 함수의 순간적인 변화율은 어떻게 구할 수 있을까요? 오늘은 순간변화율의 의미를 알아보고, 극한의 성질을 이용하여 직접 구해봅시다. [복습] 평균변화율 닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 평균변화율은 다음과 같이 구했습니다.* x증분 : a에서 b로 변화하므로 b-a* y증분 : f(a)에서 f(b)로 변화하므로 f(b)-f(a) 이를 식으로 나타내면, 입니다. 예를 들어, 구간 [0,2]에서 함수 f(x)=2x-1의 평균변화율은 f(0)=-1, f(2) = 2×2-1=3이므로, x증분은 2 y증분은 f(2)-f(0)=3-(-1.. 2021. 1. 25.
평균변화율, 증분 (수학2 개념+수학문제) 같이 보면 좋은 글 📄 함수의 극한 (1) : 수렴과 발산 📄 극한 표현으로 함수(함숫값) 구하기 증분 함수 y=f(x)에서 x가 a에서 a+b로 변화할 때, y의 값은 f(a)에서 f(a+b)로 변합니다. 이때, (a+b)-a=b는 x의 증분, f(a+b)-f(a)는 y의 증분이라고 부릅니다. 수학적 표현으로는 x의 증분은 △x y의 증분은 △y 로 나타냅니다. 예) 함수 다시 말해, x 증분은 x의 변화량과 같고, y 증분은 함숫값(y)의 변화량과 같습니다. 따라서 경우에 따라 증분은 음수값을 가질 수도 있습니다. 예) 함수 평균변화율 평균변화율이란, 닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 평균적인 변화율을 말합니다. (닫힌구간 [a,b]란 a≤x≤b를 의미합니다.) 여기서 변화율이란, y증분을 x증.. 2021. 1. 15.
[수학II] 3. 극한 표현으로 함수 f(x) 구하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 함수의 극한 (1) : 수렴과 발산 📄 함수의 극한 (2) : 극한의 성질 | 극한 표현을 가지고 함수 f(x) 구하기 [정리] 극한 lim 표현에서는 다음과 같은 사실을 찾아야 합니다. (1) x가 무한대로 갈 때 : 최고차항의 계수 (2) x가 a로 갈 때 : f(a)의 값과 극한값 예를 들어, 다항함수 f(x)에 대하여 두 조건이 성립한다고 합시다. (가)와 (나)에서 함수 f(x)에 대한 정보를 찾아봅시다. (가)는 x가 무한대로 가는 상황으로, 분자는 이차식분모는 f(x)인 상황입니다. 극한값은 1로 수렴하므로, f(x)는 이차식이고, 최고차항의 계수는 3임을 알 수 있습니다. (나)는 x가 0으로 가까워지는 상황으로, 분자는 x→0일 때 f(x)+4, 분모는 x→0일.. 2020. 9. 4.
[수학II] 2. 함수의 극한 (2) : 극한의 성질 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [수학II] 함수의 극한 (1) : 수렴과 발산 | 극한의 성질 극한은 다음과 같은 성질을 만족합니다. 두 함수 f(x), g(x)가 x->a일 때 수렴한다면, (1) 상수항과 함수의 곱의 극한값 : 함수의 극한값에 상수항을 곱한 값과 같다. (2) 함수끼리의 합차의 극한값: 각 극한값의 합차와 같다. (3) 함수의 곱의 극한값 : 각 극한값의 곱과 같다. (4) 함수의 몫 : 각 극한값을 나눈 몫과 같다. | 여러 가지 극한값 여러 가지 극한값을 구해봅시다. 예) 예) 예) 예) | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 인수분해나 합차공식을 이용한 유리화를 이용하면 0÷0 꼴의 함수의 극한값을 구할 수 있습니다. 극한값은 함숫값과 다르게 0에 최대한 가까이 가는 상태이기 .. 2020. 8. 30.
[수학II] 1. 함수의 극한 (1) : 수렴과 발산 (개념+수학문제) | 수렴의 개념 (1) 극한과 수렴 극한이란, 함수 y=f(x)에 대하여 x값이 어떤 값에 한없이 가까워질때 f(x)가 한없이 가까워지는 값을 말합니다. f(x)가 어떤 값에 한없이 가까워지는 상태를 수렴이라고 부르며, 수렴하는 값을 극한이라고 부릅니다. 극한은 극한값이라고도 표현하며, x가 한없이 가까워지는 상태라는 점에서 함숫값과 다릅니다. 함숫값은 x가 어떤 값일 때 대응되는 치역의 원소라면, 극한은 x가 어떤 값에 가까워질때 y의 상태를 뜻하기 때문입니다. (2) 예제 여러 함수의 극한을 알아보며, 극한을 이해하여봅시다. 예) 예) 이 때 x=1일 때 대응하는 y의 값이 없으므로, 함숫값과 극한값은 서로 같지 않습니다. | 무한대의 개념 : ∞, -∞의 의미 ∞는 무한대로, 실수가 한없이 커지는 .. 2020. 8. 20.

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