미분계수, 순간변화율 구하기 (개념+수학문제)

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📄 평균변화율

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* 순간변화율

평균변화율은 닫힌구간 [a,b]에서 평균적으로 변화하는 정도를 의미했습니다. 

그렇다면 함수의 순간적인 변화율은 어떻게 구할 수 있을까요?

 

오늘은 순간변화율의 의미를 알아보고, 극한의 성질을 이용하여 직접 구해봅시다.

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[복습] 평균변화율

 

닫힌구간 [a,b]에서 함수 f(x)의 평균변화율은 다음과 같이 구했습니다.* x증분 : a에서 b로 변화하므로 b-a* y증분 : f(a)에서 f(b)로 변화하므로 f(b)-f(a)

 

이를 식으로 나타내면,

입니다.

 

예를 들어, 구간 [0,2]에서 함수 f(x)=2x-1의 평균변화율은

f(0)=-1, f(2) = 2×2-1=3이므로,

x증분은 2

y증분은 f(2)-f(0)=3-(-1)=4입니다.

 

따라서 평균변화율은 4÷2=2입니다.

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순간변화율의 아이디어 : 구간 [a,b]에서 b를 a에 최대한 가깝게 해보자.

 

좌표평면 위 곡선 y=f(x)에 대하여 구간 [a,b]의 평균변화율은

붉은 직선의 기울기와 같습니다.

점 (b,f(b))를 점(a,f(a))에 가깝게 놓아봅시다.

두 점이 서로 가까워지면 가까워질수록 점(a,f(a))에서 순간변화율과 가까워짐을 알 수 있습니다.

이때, 극한을 이용하면 수학적으로 정확한 순간변화율을 구할 수 있습니다.

h->0으로 갈 때, b를 a+h로 놓는 것이죠.

 

이 방법을 사용하면

x증분 : a에서 a+h로 변화했으므로 h

y증분 : f(a)에서 f(a+h)로 변화했으므로 f(a+h)-f(a)

임을 구할 수 있고, 변화율의 극한값을 구할 수 있습니다.

이 극한값이 바로 순간변화율입니다.

x=a에서의 순간변화율은 x=a에서의 미분계수로도 불립니다.

간단하게 f'(a)로 표현하기도 합니다.

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예제를 함께 풀어봅시다.

 

예)

미분계수를 구하는 문제는 f(3+h)와 f(3)를 구하고, 극한의 성질을 이용해 계산할 수 있습니다.

이때

x증분은 h,

y증분은 f(h+3)-f(3) = h^2+9h가 됩니다.

따라서 x=3에서의 미분계수는 (또는 f'(3))

9입니다.

 

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* 학습지 미리보기

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* 첨부파일

2021SP H3-05(순간변화율, 미분계수).pdf

0.16MB

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* 닫는 말

이번 학습지는 미분계수를 구하는 학습지로, 이차함수, 일차함수, 상수함수의 순간변화율을 구하는 내용으로 구성했습니다. 물론 나중에 도함수로 구해 간단히 계산할 수 있겠지만, 극한의 성질을 이용하여 계산해보시길 바랍니다. 논술형으로 제시될 때 대비할 수도 있고, 무엇보다도 미분의 의미를 공부할 때 바탕이 되기 때문입니다. 오늘 공부도 화이팅하시길 바랍니다. 감사합니다. 

 

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