도함수의 의미와 구하는 법, 연습문제 (수학2)

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* 도함수

도함수는 미분가능한 함수 f(x)에 대하여,

h가 0으로 가까이 갈 때,

(x, f(x)), (x+h, f(x+h))의 순간변화율을 나타낸 함수입니다.

(미분가능한 함수에 대해서는 추후 '연속함수'와 함께 묶어서 설명하겠습니다.)

 

순간변화율(미분계수)는 극한값을 구하는 과정이라면,

도함수는 x에 대한 미분계수를 함수로 나타낸 것입니다.

이와 같이 미분가능한 함수의 도함수를 구하는 것을 미분이라고 합니다.

 

 

때문에 도함수를 구하는 과정은 미분계수와 유사합니다.

 

도함수는 y=x^n(x의 n제곱)의 도함수를 구할 수 있으면 간편하게 구할 수 있습니다.

우선 (x+h)의 제곱, 세제곱, 네제곱, n제곱을 내림차순으로 놓았을 때 두 번째 항까지 나타내어봅시다.

이를 이용하여 y=x^2, y=x^3, y=x^4...의 도함수를 나타내면,

이를 연장하면, f(x)=x^n의 도함수는 f'(x)=nx^(n-1)임을 알 수 있습니다.

[정리] 다항함수의 미분은 계수와 차수를 곱해 계수로 나타내고, 차수를 1 낮추어 적습니다.

[주의] 상수를 미분하면 0이 됩니다. f(x), f(x+h)에 상관없이 같은 값을 가지기 때문에 사라집니다.

[주의] 일차식을 미분하면 계수만 남습니다.

 

 

예) 

함수 y=2x+1의 도함수는

2x의 계수가 2, 차수가 1이므로,

2가 되고,

상수 1은 사라집니다.

따라서 y'=2입니다.

 

예)

 

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* 첨부파일

2021SP H3-07(도함수).pdf

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* 닫는 말

이번 학습지는 수학2의 미분 단원 중 도함수를 구하는 학습지입니다. 도함수의 정의를 활용하여 여러 가지 다항함수의 도함수를 구해보세요.

 

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