접선의 기울기와 미분계수, 미분계수의 기하적 의미 (개념+수학문제)

기울기는 일차함수 y=ax+b에 대하여,

(y의 증가량)을 (x의 증가량)으로 나눈 값을 말했습니다.

편의상 x의 계수인 a가 기울기와 같았죠.

이와 같이 좌표평면에서 직선은 하나의 기울기를 가집니다.

그렇다면 곡선에서는 어떨까요?

그림과 같이 곡선에서는 기울기를 조사하기 어렵습니다.

그렇지만 한 점의 접선에서는 기울기를 알 수 있습니다.

접선은 직선의 모양을 하고 있기 때문입니다.

앞서 미분계수에 대한 설명을 드렸을 때 아래 그림을 보여준 적이 있었습니다.

이때, b가 a에 가까이 갈수록 곡선의 접선과 비슷해짐을 알 수 있는데요,

b가 a에 끝없이 가까워질 때, 점 (a,f(a))의 접선을 가지게 됩니다.

그리고 이때 접선의 기울기는 순간변화율로, 미분계수 f'(a)와 같습니다.

그렇다면 이차함수의 접선의 기울기를 미분계수로 구해봅시다.

예)

문제에서 주어진 점은 (1,0)으로, x=1, y=0인 경우입니다.

이때 미분계수 f'(1)은

미분계수의 정의에 f(1+h)와 f(1)을 대입하면,

따라서 미분계수는 2입니다.

[정리] 함수 y=f(x)의 미분계수 f'(a)와 x=a에서의 접선의 기울기는 서로 같습니다.

이번 학습지는 접선의 기울기와 미분계수입니다. 미분계수는 그래프의 접선과 밀접한 관련이 있습니다. 미분계수의 정의를 적어보고, 함숫값을 대입하여 극한값을 구해보시길 바랍니다. 이 방법을 통해 다항함수의 접선의 기울기를 구할 수 있을 것입니다.

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