[수학II] 1. 함수의 극한 (1) : 수렴과 발산 (개념+수학문제)

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| 수렴의 개념

(1) 극한과 수렴

 

극한이란, 함수 y=f(x)에 대하여

x값이 어떤 값에 한없이 가까워질때

f(x)가 한없이 가까워지는 값을 말합니다.

 

f(x)가 어떤 값에 한없이 가까워지는 상태를 수렴이라고 부르며,

수렴하는 값을 극한이라고 부릅니다.

 

극한은 극한값이라고도 표현하며,

x가 한없이 가까워지는 상태라는 점에서

함숫값과 다릅니다.

 

함숫값은 x가 어떤 값일 때 대응되는 치역의 원소라면,

극한은 x가 어떤 값에 가까워질때 y의 상태를 뜻하기 때문입니다.

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(2) 예제

 

여러 함수의 극한을 알아보며, 극한을 이해하여봅시다.

 

예)

예)

 

이 때 x=1일 때 대응하는 y의 값이 없으므로,

함숫값과 극한값은 서로 같지 않습니다.

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| 무한대의 개념 : ∞, -∞의 의미

∞는 무한대로, 실수가 한없이 커지는 상태를 의미합니다.

 

함수에서 x가 무한대 상태일 때 함숫값을 구할 수는 없지만,

극한값을 구할 수는 있습니다.

 

예)

반비례 그래프 y=2/x는 y=0을 점근선으로 가지는 그래프입니다.

 

반비례 그래프 : y= 2/x 그래프

이때 x가 무한대 상태라면 y의 값은 어떻게 변할까요?

 

점근선에 한없이 가까워지므로  y의 값은 0에 한없이 가까워집니다.

따라서 극한값은 0입니다.

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예)

 

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| 발산의 개념

발산은 y가 어떤 값에 한없이 가까워지지 않고, 꾸준히 커지거나 꾸준히 작아지는 상태를 말합니다.

 

꾸준히 커진다면 ∞,

꾸준히 작아진다면 -∞

 

으로 나타냅니다.

 

예)

 

 

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예)

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| 닫는 말

함수의 수렴과 발산은 함숫값과 다르게 함수의 상태를 조사하는 것입니다.

앞으로 함수를 분석할 때에는 단순한 대응 관계에서 벗어나

x와 y의 변화를 중심으로 살펴보기 때문에

 

함수의 수렴과 발산은 중요한 내용입니다.

이번 학습지는 다양한 함수의 수렴 또는 발산을 조사하고,

수렴하면 극한값을 구해보는 문제로 구성했습니다.

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