[고등수학(하)] 3. 함수와 그래프 > 일대일함수와 일대일대응 (개념+수학문제)

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* 일대일함수

일대일함수란, 정의역의 각 원소에 대하여 서로 다른 치역의 원소와 대응하는 함수를 말합니다.

 

예) X={1,2,3} Y={1,2,3,4,5,6}에 대하여 X를 정의역으로, Y를 공역으로 갖는 함수 y=2x는 다음과 같은 대응 관계를 가집니다.

 

x=1, y=2

x=2, y=4

x=3, y=6

 

이때, x의 값이 서로 다르더라도 대응하는 y값은 겹치지 않습니다.

치역 {2,4,6}의 각 원소는 서로 다른 x값과 대응합니다.

 

따라서 함수 y=2x는 일대일함수입니다.

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예) X={-1,0,1} Y={0,1}에 대하여 X를 정의역으로, Y를 공역으로 갖는 함수 y=|x|는 다음과 같은 대응 관계를 가집니다.

 

x=-1, y=1

x=0, y=0

x=1, y=1

 

이때, x=-1일 때와 x=1일 때 서로 같은 Y의 원소 1과 대응합니다.

 

따라서 함수 y=|x|는 일대일함수가 아닙니다.

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* 일대일대응

일대일대응이란 공역과 치역이 서로 같은 일대일함수를 말합니다.

일반적으로 함수가 주어지면 정의역은 모든 실수입니다.

 

이때 일대일대응인 함수 f는 모든 실수를 치역으로 가지면서

정의역의 원소 x1과 x2가 서로 다르다면

 f(x1)과 f(x2)가 서로 달라야 합니다.

 

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예) y=x는

정의역이 모든 실수라면 치역도 모든 실수입니다.

그리고 일대일함수이므로

일대일대응으로 볼 수 있습니다.

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예) y=2|x|+x는

정의역이 모든 실수라면 (x≥0, x<0)으로 정의역을 나누어 생각해볼 수 있습니다.

 

i) x≥0일 때

y=2x+x

y=3x

 

ii) x<0일 때

y=-2x+x

y=-x

 

이를 그래프로 나타내면

 

입니다.

(-3,3), (1,3)과 같이 정의역의 원소가 서로 다르더라도 같은 y값과 대응함을 알 수 있습니다.

(이 역시 일대일대응의 조건 불충족)

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