[수학I] 19. 등차수열의 성질 : 공식, 항 구하기 (개념+수학문제)

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| 등차수열의 성질

[정리] 등차수열은 다음과 같은 성질을 가집니다.

첫 번째 성질과 두 번째 성질은 앞서 등차수열의 의미를 학습할 때 다루었던 내용입니다.

 

첫번째 성질은 일반항에 대한 것으로,

제 n항은 첫째항인 a에 공차를 (n-1)번 더했다는 뜻입니다.

 

실제로 수열에 대하여제 2항은 제 1항에서 공차를 한 번 더했으므로,

a_2 = a+d

입니다.

 

제 3항은 제 1항에서 공차를 두 번 더했으므로,

a_3 = a+2d

입니다.

 

이것을 계속 반복하다보면 제 n항은

a+(n-1)d

임을 알 수 있습니다.

 

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두 번째 성질은 이웃한 두 항에 대한 이야기입니다.

 

제 n항에 대하여 앞에 있는 n-1항은공차를 한 번 덜 더했다고 생각할 수 있습니다.

 

따라서 뒤의 항에서 앞의 항을 빼면 항상 공차를 얻을 수 있습니다.

 

예)

수열 2,4,6,8,10...에서

 

제 3항은 6,

제 4항은 8입니다.

 

제 4항에서 제 3항을 빼면

8-6으로

2입니다.

 

따라서 이 수열의 공차는 2입니다.

 

이것을 응용하면 이웃하지 않은 두 항을 가지고 공차를 구할 수 있습니다.

 

수열 4,11,18,25,32...를 살펴봅시다.

 

이 수열에서 제 5항은 32, 제 2항은 11입니다.

제 5항에서 제 2항을 빼면 32-11=21입니다.

 

그런데 제 5항은 제 2항에서 공차를 세 번 더한 값과 서로 같습니다.

 

따라서 3d=21이고d=7임을 알 수 있습니다. 

 

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세 번째 성질은 등차수열이 가지는 독특한 수학적 성질입니다.

 

예) 수열 1,4,7,10,13...을 살펴봅시다.

 

이 수열은 제1항은 1, 공차가 3인 등차수열입니다.

 

여기서 제 1항과 제 5항의 합을 구해봅시다.제 1항은 1, 제 5항은 13으로1+13=14입니다.

 

두  항의 번호의 합은 6으로,번호의 합이 6인 다른 짝으로는 제 2항과 제 4항이 있습니다.

 

제 2항과 제 4항을 각각 조사해보면

제 2항은 4, 제 4항은 10입니다.

 

4+10은 14로,

앞서 구했던 제 1항과 제 5항의 합과 서로 같습니다.

 

이처럼 등차수열에서는 항의 번호가 같은 항의 합은 항상 같다는 성질이 있습니다.

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| 등차수열의 항 구하기 연습문제

1. 첫째항이 7, 공차가 -2인 등차수열에서 제 9항을 구하시오.

 

이 문제는 등차수열의 일반항을 구한 뒤, n=9를 대입해 해결할 수 있습니다.

첫째항과 공차가 주어졌으므로 바로 일반항 공식에 대입하면,

 

 

n=9를 대입하면,

 

입니다. 따라서 제 9항은 -9입니다.

 

 

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2. 제 2항이 -6, 제 5항이 9인 수열이 등차수열일 때, 제 20항을 구하시오.

 

이 문제는 두 항 사이의 관계를 통해 첫째항과 공차를 구한 후,

일반항을 얻어 n=20을 대입해보아야 합니다.

 

첫째항을 a, 공차를 d라고 놓을 때

 

제 2항은 a+d

제 5항은 a+4d입니다.

 

따라서 다음과 같은 연립방정식을 세울 수 있습니다.

 

연립방정식을 풀면 a=-11, d=5를 얻을 수 있습니다.

 

첫째항과 공차를 알았으니, 일반항을 구해봅시다.

 

n에 20을 대입하면,

따라서 제 20항은 84입니다.

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| 닫는 말

이번 학습지는 등차수열의 정보를 주고, 주어진 항이 얼마인지 구하는 문제로 구성했습니다.

등차수열의 공식들을 활용하면 문제에서 요구하는 값을 구할 수 있을 것입니다.

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