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수학 학습지/고등수학(상)43

직선의 방정식 (고등수학 (상) 개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 두 점 사이의 거리 📄 [고등수학(상)] 내분점과 외분점 | 직선의 방정식 실수 a,b,c에 대하여 x축과 y축을 갖는 좌표평면 위의 직선은 ax+by+c=0 꼴로 나타낼 수 있습니다. 예) 두 점 (1,0), (3,2)를 지나는 직선은 두 가지 방법으로 풀 수 있습니다. i) 직선의 방정식에 대입하기 a+c=0 ......(ㄱ) 3a+2b+c=0 ...(ㄴ)을 만족합니다. (ㄱ) - (ㄴ)-2a-2b=0-a-b=0b=-a a를 1로 놓으면b=-1, c=-1 따라서 직선의 방정식은 x-y-1=0 ii) 일차함수식에 대입하기 (1,0), (3,2)사이의 기울기를 조사하면 x의 증가량 : +2y의 증가량 : +2로 기울기는 (y의 증가량)/(x의 증가량) = 1입.. 2020. 8. 23.
삼각형의 무게중심 의미, 좌표 구하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 내분점과 외분점 | 삼각형의 무게중심 (1) 무게중심의 뜻 삼각형의 무게중심은 중선의 교점입니다. 중선이란, 한 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분을 뜻합니다. 삼각형 ABC에서 점 A를 지나는 중선을 그어봅시다. BC의 중점을 M이라고 잡고 선분 AM을 긋습니다. 같은 방법으로 점 B와 C에서 각각 중선을 긋습니다. 이때 세 중선이 하나의 점을 지나는데, 이것이 무게중심입니다. (2) 무게중심의 성질 [정리] 무게중심의 성질 1) 삼각형이 세 중선에 의해 나누어진 여섯 개의 삼각형의 넓이는 서로 같습니다. 2) 무게중심은 중선을 2:1로 내분합니다. 삼각형이 세 중선에 의해 나누어진 여섯 개의 삼각형의 넓이는 서로 같습니다. 첫 번째 성질부터 이야기해봅시다. .. 2020. 8. 20.
내분점과 외분점 (개념+공식+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 두 점 사이의 거리 📄 [고등수학(상)] 세 점이 이루는 삼각형 판정하기 | 수직선 위의 내분점과 외분점 수직선 위의 선분을 이루는 두 점을 기준으로 거리가 m:n의 비를 가질 때, 선분 안에 있다면 내분점 선분 밖에 있다면 외분점이라고 부릅니다. (1) 내분점 선분 AB를 내분하는 내분점 P에 대하여 점 P는 선분 AB 안에 있고, (선분 AP의 길이):(선분 BP의 길이) = m:n을 만족합니다. 이 때 점 P의 좌표는 입니다. 예) 점 A(-3), 점 B(5)를 1:3으로 내분하는 점 P의 좌표는 {(-3)×3 + 5×1}÷(1+3) = (-4)÷4 = -1 따라서 점 P의 좌표는 P(-1) (2) 외분점 선분 AB를 외분하는 점 P에 대하여 점 P는 선.. 2020. 8. 19.
좌표평면 위의 세 점에 대한 삼각형의 조건 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 두 점 사이의 거리 | 좌표평면 위의 세 점이 이루는 관계 좌표평면 위의 임의의 세 점은 크게 삼각형을 만들거나, 세 점이 한 직선 위에 있거나, 일치하는 점이 생깁니다. 좌표평면 위의 세 점으로 만들어지는 세 가지 경우를 살펴본 후, 삼각형을 이루는 조건을 자세히 살펴보도록 하겠습니다. 1. 삼각형을 만든다. → 조건 1 : 세 점의 좌표 중 일치하는 좌표가 없다. → 조건 2 : (가장 긴 선분의 길이) (나머지 변의 길이의 제곱의 합) 예각삼각형 (가장 긴 변의 길이)^2 < (나머지 변의 길이의 제곱의 합) [주의1] 정삼각형이고 예각삼각형이라면, 정삼각형이라고 판정합니다. [주의2] 이등변삼각형인 경우 두 변의 길이가 같음을 나타내어야 합니다. 예) .. 2020. 8. 16.
두 점 사이의 거리 공식 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [중1-1] 절댓값 | 수직선 위의 두 점 사이의 거리 수직선 위의 두 점 사이의 거리를 구해봅시다. 위 그림에서 초록색 점의 좌표는 -1, 주황색 점의 좌표는 4입니다. 두 점 사이의 거리는 좌표의 차와 서로 같습니다. 4-(-1)=5이므로, 두 점 사이의 거리는 5입니다. [정리] 수직선 위의 두 점 A(a), B(b)에 대하여 점 A와 점 B 사이의 거리는 | a - b | | 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리 좌표평면 위의 두 점 사이의 거리는 직각삼각형을 만들어 구해보아야 합니다. 좌표평면 위의 두 점 A(-1,-1), B(3,1) 사이의 거리를 구해봅시다. 두 점 사이의 거리는 두 점을 잇는 선분의 길이와 서로 같으므로, 아래 그림과 같이 나타낼 수 있습니다. 이 때.. 2020. 8. 13.
한 실근과 두 허근을 가지는 삼차방정식 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 세 실근을 가지는 삼차방정식 📄 [고등수학(상)] 허수, 켤레복소수 | 실근과 허근 삼차방정식은 세 근을 가집니다. 세 근이 중근으로 겹치는 경우도 있지만, 최대 세 개의 근을 가집니다. 이전에 세 실근을 가지는 삼차방정식에 대해 배운 적이 있었는데요, 이는 실수인 근이 세 개인 경우를 의미합니다. 삼차방정식은 해는 다음과 같은 유형이 있습니다. 첫째, 서로 다른 세 실근을 가지는 경우 둘째, 하나의 실근과 하나의 이중근을 가지는 경우 셋째, 삼중근을 가지는 경우 넷째, 하나의 실근과 서로 다른 두 허근을 가지는 경우 입니다. 중근은 실수인 근이 서로 겹치는 경우로, 크게 세 실근을 가지거나, 하나의 실근과 두 허근을 가지는 경우로 볼 수 있습니다. 오늘은 넷.. 2020. 7. 18.
연립이차부등식의 풀이, 해 구하기 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 연립이차방정식의 풀이 📄 [고등수학(상)] 사차방정식 📄 [고등수학(상)] 사차방정식 | 연립이차부등식이란 연립이차부등식이란, 둘 이상의 부등식이 연립되어 있고 부등식의 최대 차수가 2인 식을 의미합니다. 는 연립이차부등식이라고 볼 수 있습니다. | 연립이차부등식의 해 구하기 연립이차부등식의 해는, 이차부등식의 해가 겹치는 부분입니다. 의 해를 구해봅시다. 두 이차식을 인수분해하면, 입니다. 첫 번째 부등식의 해를 노란색으로 색칠하면 그림과 같습니다. 두 번째 부등식의 해를 보라색으로 색칠하면 그림과 같습니다. 연립이차부등식의 해는 노란색과 보라색이 겹친 회색 부분입니다. 따라서 준 식의 해는 | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 연립이차부등식은 두 개.. 2020. 7. 15.
연립이차방정식의 풀이 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고1/1] 이차방정식의 풀이 📄 [중2/1] 연립일차방정식의 풀이 | 연립이차방정식의 의미 연립이차방정식은 두 방정식이 연립되어 있고, 가장 높은 차수가 2인 방정식을 의미합니다. 고등수학 교과서에서는 연립이차방정식이 크게 두 가지 유형으로 나누고 있습니다. (1) 일차식과 이차식이 연립된 방정식 (2) 이차식과 이차식이 연립된 방정식 으로 생각할 수 있습니다. | 연립이차방정식의 풀이 연립이차방정식은 다음과 같이 풀 수 있습니다. (1) 일차식와 이차식이 연립되어 있는 경우 일차식을 y=(x에 대한 일차식)으로 정리하여 이차식에 대입해 x값을 구한다. 일차식에 x값을 대입해 y값을 구한다. (2) 이차식과 이차식이 연립되어 있는 경우 이차식을 인수분해한다. 인수를 y=(x에.. 2020. 6. 29.
사차방정식의 풀이 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 이차방정식 📄 [고등수학(상)] 이차방정식의 근과 계수의 관계 📄 [고등수학(상)] 삼차방정식 | 사차방정식 사차방정식은 모든 항을 왼쪽으로 옮겼을 때 (사차식)=0을 만족하는 방정식을 의미합니다. 사차방정식은 최대 4개의 실근을 가지며, 인수분해를 함으로써 방정식의 해를 구할 수 있습니다. 사차방정식이 k(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)=0으로 인수분해될 때, 사차방정식의 해는 x=a, x=b, x=c, x=d입니다. 물론 중근이나 삼중근, 사중근이 등장할 수 있습니다. 중근이 생기는 경우는 a,b,c,d중 서로 같은 수가 있는 경우로, 숫자가 겹치면 하나로 세 계산해주도록 합니다. 예) | 학습지 미리보기 | 첨부파일 | 닫는 말 사차방정식은 삼차방정식.. 2020. 6. 23.
세 실근을 가지는 삼차방정식 (개념+수학문제) | 같이 보면 좋은 글 📄 [고등수학(상)] 이차방정식의 해, 실근, 허근 📄 [고등수학(상)] 근과 계수의 관계 | 삼차방정식 일차방정식, 이차방정식이 각각 모든 항을 왼쪽으로 놓았을 때 일차식, 이차식이 되는 방정식을 의미했습니다. 삼차방정식 역시 모든 항을 왼쪽으로 놓았을 때 (x에 대한 삼차식)=0꼴을 만족하는 방정식입니다. 의 경우 x에 대한 삼차방정식입니다. 삼차방정식은 인수분해하는 방법으로 해를 구할 수 있습니다. 이와 같이 삼차방정식은 조립제법으로 인수분해한 후, 해를 구할 수 있습니다. 만약, 이차식이 더 이상 실수의 범위에서 인수분해되지 않는다면, 이차방정식의 근의 공식에 대입해볼 수 있습니다. 이번 학습지는 근이 모두 정수인 삼차방정식을 준 후, 조립제법과 인수분해를 이용해 문제를 해.. 2020. 6. 20.
근과 계수의 관계 (고등수학 (상)개념+수학문제) | 관련 개념 📄 [중1-1] 일차방정식 📄 [고등수학(상)] 이차방정식의 해, 실근, 허근 | 근과 계수의 관계 이차방정식은 근의 공식을 이용해 근을 구할 수 있었습니다. 하지만 근의 공식은 식을 대입하기 복잡한 편입니다. 반면 근의 합과 곱은 상대적으로 간단합니다. 이차방정식을 인수분해하여 두 근의 합과 곱을 유도해봅시다. 정리하자면, 이차방정식의 두 근 에 대하여 가 성립합니다. 예제 1. [풀이] 더보기 예제 2. [풀이] 더보기 | 복잡한 근과 계수의 관계식 구하기 하지만 단순히 두 근의 합이나 곱을 구하는 문제만 있지 않습니다. 조금 더 복잡한 식을 풀어볼 필요가 있는데요, 다음과 같은 식들이 있습니다. 순서대로 두 근의 합과 곱으로 표현하면 다음과 같이 풀 수 있습니다. 위 공식을 써보면서 .. 2020. 6. 2.
이차방정식의 해, 실근, 허근 (개념+수학문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 지난 시간까지 해서 복소수의 의미, 켤레복소수, 복소수의 연산까지 공부해보았습니다. 오늘은 복소수를 활용해 이차방정식의 해를 구해봅시다. | 이차방정식이란? 이차방정식이란, 등식의 모든 항을 좌항으로 옮겼을 때 (이차식)=0 꼴을 만족하는 방정식입니다. 예) 이차방정식의 근은 세 가지 경우로 나눌 수 있었습니다. (1) 서로 다른 두 실근 (2) 하나의 실근 (3) 해가 없음 이 세 가지 경우로 나눌 수 있는 기준이 무엇이었나요? 바로 판별식이었습니다. 판별식이란, 이차방정식 을 이야기했었습니다. 판별식의 값에 따라 실근의 개수는 다음과 같이 말할 수 있었습니다. 판별식(D) 해 서로 다른 실근의 개수 D>0 서로 다른 두 실근을 가진다. 2 D=0 중근을 가진다. 1 D.. 2020. 5. 25.
복소수의 나눗셈, 분수로 주어진 복소수의 계산 (개념+수학문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 지난 시간의 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 이어서 복소수의 나눗셈을 공부해보도록 하겠습니다. | 복소수의 나눗셈 분모가 복소수인 식을 한 번 정리해봅시다. 1) 분모가 허수인경우 은 어떻게 정리할 수 있을까요? 분자와 분모에 허수단위 i를 곱하여 간단하게 나타낼 수 있습니다. 예) 2) 분자가 실수이고 분모가 복소수인 경우 분모가 복소수인 식은 어떻게 간단하게 나타낼 수 있을까요? 분모를 실수화하기 위해서는 합차공식을 이용할 수 있습니다. 실수 a,b에 대한 합차공식은 아래 공식과 같은데요, 복소수의 경우 다음과 같이 적용해볼 수 있습니다. 다시말해, 분모의 켤레복소수를 분자와 분모에 곱해주면 됩니다. 예) 다음 식을 한 번 정리해봅시다. 분자는 1이고 분모는 1+.. 2020. 5. 17.
복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈 (개념 + 수학문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 복소수와 이차방정식 단원의 두 번째 시간으로, 켤레복소수 구하기에 이어 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈을 포스팅해보려고 합니다. 복소수의 나눗셈이 궁금하신 분은 아래 링크를 활용하세요! [고등수학(상)/고1] 11. 복소수와 이차방정식 > 복소수의 연산(계산) : 나눗셈, 분수 (개념+수학문제 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 지난 시간의 복소수의 덧셈, 뺄셈, 곱셈에 이어서 복소수의 나눗셈을 공부해보도록 하겠습니다. | 복소수의 나눗셈 분모가 복소수인 식을 한 번 정리해 calcproject.tistory.com | 복소수의 덧셈 복소수는 i×i=-1을 만족하는 허수단위 i에 대하여 복소수는 a+bi꼴로 나타낼 수 있는 수로(단, a,b는 실수), a는 실수부분.. 2020. 5. 3.
켤레복소수 구하기 (개념+수학문제) 2020년 4월부터 Lite 학습지의 문항 수가 50문항에서 20문항으로 감소합니다. 라이트와 프리미엄 학습지에 대한 안내는 아래 공지를 확인하시길 바랍니다. >>4월 학습지제작소 운영정책 변경 안내 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 고등학교 1학년 수학을 포스팅해보려고 합니다. 8번 학습지까지 해서 1단원 다항식을 마무리해보았는데요, 공부한 내용 잘 정리하셨나요? '[2020] 수학 개념 + 연산 문제/고등수학(상)' 카테고리의 글 목록 초•중학교 수학 목차, 연산 문제 연재. 수업, 홈티칭, 과외 자료 무료 제공. calcproject.tistory.com 위 링크로 들어가시면 고등수학(상)의 다른 포스팅도 볼 수 있으니, 공부하는데 활용하시길 바라요. 이번 포스팅부터는 대단원 2단원 방정식과 .. 2020. 4. 12.
인수정리 (고등수학(상) 개념+수학문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 고등학교 1학년 수학(고등수학)을 포스팅하는 날입니다. 지난주까지 나머지정리의 의미에 대해서 알아보고, 일차식과 이차식으로 나누는 연습을 해보았습니다. 이번주는 지난주에 이어서 인수정리에 대해 알아보도록 하겠습니다. 이름부터 나머지정리와 비슷하죠? 실제로 나머지정리와 굉장히 유사합니다. | 인수정리란 무엇일까? 나머지정리는 어떤 다항식을 일차식이나 이차식으로 나누었을 때 나머지에 대한 공식이었는데요, 다항식 P(x)를 (x-a)로 나눈다면, 나머지 R은 다음과 같이 구할 수 있습니다. P(x) = (x-a)Q(x)+R 이 식에 x=a를 대입하면, P(x) = (a-a)Q(a)+R이 되고, P(a)=R 이 성립합니다. 인수정리는 R=0일 때, 즉 나머지가 0일 때 나.. 2020. 3. 29.
나머지정리 (2) : 이차식으로 나눈 나머지 구하기 (개념+연산문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 고등학교 1학년 고등수학(상) 일곱 번째 포스팅을 하는 날입니다. 지난 주에는 일차식으로 나눈 나머지를 구하는 방법을 나머지정리와 함께 소개해 드렸는데요, 오늘은 그보다 난이도가 높은 이차식으로 나눈 나머지 구하기를 공부하도록 하겠습니다. >> 고등수학(상) 다른 포스팅 보기 | 이차식으로 나누면 나머지는 어떤 꼴일까? 일차식으로 나누었을 때는 나머지가 상수였는데요, 이차식으로 나누면 나머지는 어떤 모습을 하고 있을까요? 한 번 임의의 삼차식을 이차식으로 나누어봅시다. 위 예제에서 볼 수 있듯이 나머지는 일차식입니다. 하지만, 다항식을 세로셈으로 풀면 불편하기도 하고 다항식의 모든 항을 주지 않고 P(x)꼴로 주는 경우도 있으므로 한계점을 갖고 있다고 볼 수 있습니.. 2020. 3. 14.
나머지정리 (1) : 일차식으로 나눈 나머지 (개념+수학문제) * 수정사항 안내 [2020-12-20 수정] 문제 일부의 답이 잘못 표기되어 있어 고쳤습니다. 학습지에서 수식으로 적혀있지 않은 부분을 고쳤습니다. 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 고등수학(상)의 다항식 단원의 나머지정리를 공부할 차례입니다. 저번 학습지까지는 인수분해를 공부하면서, 다항식을 여러 인수들의 곱으로 표현해보았는데요, 오늘은 다항식을 차수가 낮은 다항식으로 나누었을 때 나머지를 어떻게 구할 수 있는지 이야기해보겠습니다. | 항등식의 성질은 무엇일까? 나머지정리를 본격적으로 배우기 전에, 항등식에 대한 논의가 필요합니다. 항등식이란 어떤 변수 x에 대하여 다항식 P(x), Q(x)가 x의 값에 관계없이 항상 같은 식을 의미합니다. 위 두 다항식 P(x), Q(x)에 대하여 두 식은 x.. 2020. 3. 6.
곱셈공식을 활용한 인수분해 (고등수학(상) 개념+수학문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 오늘은 고등학교 1학년 수학 학습지를 포스팅해보려고 합니다. 지난 4번 학습지는 조립제법을 이용한 인수분해식을 풀어보았다면, 오늘은 곱셈공식을 이용한 인수분해에 대해 이야기해보려고 합니다. * 곱셈공식 곱셈공식은 묶여 있는, 이른 바 인수분해되어있는 식을 풀어주는 식이었는데요, 고등학교에서는 다음과 같은 다섯 가지의 새로운 인수분해 식을 배웁니다. * 인수분해 인수분해는 전개식을 인수끼리 묶는 것으로, 어찌보면 전개의 반대 과정인데요, 곱셈공식과 비교했을 때 좌항과 우항이 서로 바뀌어 있습니다. 이번 학습지는 이 다섯 가지 유형을 연습해볼 수 있도록 문제를 구성했습니다. * 인수분해, 어떻게 할까? 인수분해를 하기 위해서는 기본 공식에서 a,b,c가 무엇을 의미하는지 생각.. 2020. 2. 24.
조립제법을 활용한 인수분해 (개념+수학문제) 안녕하세요, 학습지제작소입니다. 이 카테고리(이하 보충자료)에 올리는 보충자료라 함은, 현재 연재 중이지 않고 이전에 사용했던 학습지자료로 해당 진도 관련 문제를 풀고 싶거나, 보충문제를 찾으시는 선생님들께 공유하고자 올리는 자료입니다. 따라서 보충자료는 연재를 시작하지 않는 이상 새로운 문제가 업로드되지 않으니 양해의 말씀드립니다. 오늘은 고등학교 1학년 문제를 연달아 포스팅하려고 합니다. 이번에 다뤄볼 문제는 인수분해인데요, 이차식에서 나아가 삼차식, 사차식을 인수분해하는 내용을 주로 다루고 있습니다. 조금 더 자세히 살펴보자면, 중학교 3학년 과정에서는 일차식과 이차식을 주로 공부한다면, 고등학교 1학년 과정에서는 삼차식과 사차식을 주로 인수분해합니다. 4번 학습지에서는 조립제법을 이용해서 문제를 .. 2020. 2. 11.

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