이차방정식의 해, 실근, 허근 (개념+수학문제)

 

안녕하세요, 학습지제작소입니다.

지난 시간까지 해서 복소수의 의미, 켤레복소수, 복소수의 연산까지 공부해보았습니다.

오늘은 복소수를 활용해 이차방정식의 해를 구해봅시다.

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| 이차방정식이란?

이차방정식이란, 등식의 모든 항을 좌항으로 옮겼을 때

(이차식)=0

꼴을 만족하는 방정식입니다.

 

예)

이차방정식의 근은 세 가지 경우로 나눌 수 있었습니다.

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(1) 서로 다른 두 실근

(2) 하나의 실근

(3) 해가 없음

 

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이 세 가지 경우로 나눌 수 있는 기준이 무엇이었나요?

바로 판별식이었습니다.

 

판별식이란, 이차방정식

을 이야기했었습니다. 판별식의 값에 따라 실근의 개수는 다음과 같이 말할 수 있었습니다.

판별식(D)	해	서로 다른 실근의 개수
D>0	서로 다른 두 실근을 가진다.	2
D=0	중근을 가진다.	1
D<0	해가 없다.	0

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| 근의 공식과 판별식 사이의 관계

왜 0을 기준으로 실근의 개수가 변화할까요?

이것은 근의 공식에서 그 까닭을 살펴볼 수 있습니다.

 

이차방정식

에 대하여 근 x는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

이때

이므로 다음과 같이 고칠 수 있습니다.

 

(1) D>0인 경우

판별식 D의 값이 0보다 크다면 제곱근 D의 값이 0보다 커져 수직선 위에 서로 다른 x의 값을 나타낼 수 있습니다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 2입니다.

 

(2) D=0인 경우

판별식 D의 값이 0이라면 제곱근 D의 값은 0이 되어 수직선 위의 x값은 서로 겹칩니다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 1이며,

이를 실중근이라고 부릅니다.

(3) D<0인 경우

판별식 D의 값이 0보다 작다면 제곱근 D는 실수가 아니므로 실수를 나타내는 수직선 위에 나타낼 수 없습니다.

따라서 서로 다른 실근의 개수는 0입니다.

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| 판별식이 0보다 작은 경우 : 허근으로 나타내기

 

판별식 D이 0보다 작더라도, 근을 나타낼 수 없는 것은 아닙니다.

우리는 제곱이 -1인 수를 허수단위로 불렀습니다.

허수단위를 이용하면 제곱근 {음수}꼴을 허수로 나타낼 수 있습니다.

 

예를 들어,

허수단위 i가 들어간 이차방정식의 근을 허근이라고 부릅니다.

서로 다른 두 허근을 갖는 이차방정식을 풀어봅시다.

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위 이차방정식의 근은

 서로 다른 두 허근입니다.

 

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이번 학습지는 이차방정식을 주고 근의 공식을 활용해 실근 또는 허근을 구하는 문제들로 구성했습니다.

 

학습지 첨부파일은 다음과 같습니다.

2020SP H1-12.pdf

0.11MB

오늘의 포스팅은 여기까지입니다.

여러분의 수학공부를 응원합니다.

감사합니다! 

 

 

 

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