직선의 방정식 (고등수학 (상) 개념+수학문제)

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| 직선의 방정식

실수 a,b,c에 대하여

x축과 y축을 갖는 좌표평면 위의 직선은

ax+by+c=0

꼴로 나타낼 수 있습니다.

 

예)

두 점 (1,0), (3,2)를 지나는 직선은

두 가지 방법으로 풀 수 있습니다.

 

i) 직선의 방정식에 대입하기

 

a+c=0 ......(ㄱ)

3a+2b+c=0 ...(ㄴ)을 만족합니다.

 

(ㄱ) - (ㄴ)-2a-2b=0-a-b=0b=-a

 

a를 1로 놓으면b=-1, c=-1

 

따라서 직선의 방정식은 x-y-1=0

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ii) 일차함수식에 대입하기

 

(1,0), (3,2)사이의 기울기를 조사하면

 

x의 증가량 : +2y의 증가량 : +2로

 

기울기는 (y의 증가량)/(x의 증가량) = 1입니다.

 

y=x+b로 놓은 뒤 (1,0)을 대입하면0=1+b

b=-1

 

따라서 y=x-1모든 항을 왼쪽으로 이항하면-x+y+1=0양변에 -1을 곱하면

 

x-y-1=0

 

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예)

기울기가 3이고 점 (5,4)를 지나는 직선의 방정식은

 

y=3x+b로 놓고 (5,4)를 대입하면

4=15+b

 

y=3x-11

 

모든 항을 왼쪽으로 이항하면

-3x+y+11=0

 

양변에 -1을 곱하면

3x-y-11=0

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예)

x절편이 4이고 y절편이 1인 직선의 방정식은

(4,0), (0,1)을 지나므로,

 

y절편이 1임을 이용하면

y=ax+1로 나타낼 수 있습니다.

여기에 (4,0)을 대입하면

 

4a+1=0

 

따라서

양변에 4를 곱하면

 

4y=-x+4

 

모든 항을 왼쪽으로 이항하면

x+4y-4=0

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[참고] x절편이 a, y절편이 b인 직선의 방정식은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

 

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예)

x축과 양의 방향으로 45˚를 이루고 (3,2)를 지나는 직선의 방정식은

 

y=tan45˚(x-3)+2

 

y=(x-3)+2

 

y=x-1

 

모든 항을 왼쪽으로 옮기면-x+y+1=0

 

양변에 -1을 곱하면x-y-1=0

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| 닫는 말

직선의 방정식은 좌표평면에서 도형을 수식으로 나타내는 방법입니다.

 

여러 가지 직선을 해석하고 수식으로 표현해보며

직선에 친숙해져봅시다.

 

특히 양의 각이 주어져 있는 상황에서는 tan값을 이용해볼 수 있음을 떠올려봅시다.

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