삼각형의 무게중심 의미, 좌표 구하기 (개념+수학문제)

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| 삼각형의 무게중심

(1) 무게중심의 뜻

삼각형의 무게중심은 중선의 교점입니다.

 

중선이란, 한 꼭짓점과 대변의 중점을 이은 선분을 뜻합니다.

 

삼각형 ABC에서 점 A를 지나는 중선을 그어봅시다.

BC의 중점을 M이라고 잡고 선분 AM을 긋습니다.

같은 방법으로 점 B와 C에서 각각 중선을 긋습니다.

이때 세 중선이 하나의 점을 지나는데, 이것이 무게중심입니다.

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(2) 무게중심의 성질

 

[정리] 무게중심의 성질

1) 삼각형이 세 중선에 의해 나누어진 여섯 개의 삼각형의 넓이는 서로 같습니다.

2) 무게중심은 중선을 2:1로 내분합니다.

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삼각형이 세 중선에 의해 나누어진 여섯 개의 삼각형의 넓이는 서로 같습니다.

첫 번째 성질부터 이야기해봅시다.

 

무게중심은 세 중선의 교점이기 때문에 여섯 조각 중

노란색, 초록색, 빨간색 부분의 두 영역은 각각

밑변이 서로 같습니다.

 

높이 또한 같으므로

같은 색깔을 칠한 두 영역의 넓이는 서로 같습니다.

 

노란 영역의 삼각형의 넓이를 a,

초록 영역의 삼각형의 넓이를 b,

붉은 영역의 삼각형의 넓이를 c라고 놓으면,

 

삼각형 ABM의 넓이는 a+2b

삼각형 ACM의 넓이는 a+2c입니다.

 

두 삼각형의 밑변과 높이의 길이가 서로 같으므로

넓이 또한 같습니다.

 

따라서 a+2b = a+2c

 

정리하면 b=c입니다.

 

중선 AM말고도 다른 중선에 같은 방법으로 식을 구하면

a=b, a=c를 얻을 수 있습니다.

 

따라서 a=b=c입니다.

 

삼각형의 무게중심은 중선을 2:1로 내분합니다.

무게중심으로 나뉘어진 여섯 개의 조각의 넓이가 모두 같으므로,

삼각형 ABG의 넓이는 2a, 삼각형 BMG의 넓이는 a로 놓을 수 있습니다.

 

두 삼각형의 넓이의 비는 2:1입니다.

두 삼각형은 변 BG를 공통으로 하면서, 밑변이 한 직선 상에 있으므로,

 

밑변의 비는 2:1입니다.

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| 삼각형의 무게중심의 좌표

세 점 A(x1, y1), B(x2, y2), C(x3, y3)에 대하여

 

변 BC의 중점 M은

입니다.

 

삼각형의 무게중심 G에 대하여 (선분 AG의 길이):(선분 GM의 길이)=2:1

 

G의 x좌표와 y좌표에 각각 내분점 공식을 대입하면,

따라서 무게중심 G의 좌표는

입니다.

 

[참고] 삼각형의 무게중심의 좌표는 세 점의 좌표의 산술평균과 같다.

예) 세 점 A(7,-3), B(-1,4), C(-3, 2)을 꼭짓점으로 갖는 삼각형 ABC의 무게중심 G의 좌표를 구하시오.

무게중심의 x좌표를 구하면,
7+(-1)+(-3) = 3
3÷3 = 1

무게중심의 y좌표를 구하면,
(-3)+4+2 = 3
3÷3 = 1

따라서 무게중심 G의 좌표는

G(1,1)

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이번 학습지는 크게 세 점의 좌표를 주고 삼각형의 무게중심 좌표를 구하는 문제와,

두 점과 무게중심을 주고, 나머지 한 점의 좌표를 구하는 문제로 구성했습니다.

 

총 20문제로, 문제를 풀어보시면서 무게중심 좌표의 공식을 이해하고,

왜 산술평균을 좌표로 가지는지 생각해보시길 바랍니다.

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