두 직선의 평행조건, 수직조건 (고등수학 (상) 개념+수학문제)

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📄 [고등수학(상)] 직선의 방정식

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| 두 직선의 평행 조건

[정리] 두 직선 사이의 관계 (1) : 평행할 조건

 

두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0에 대하여 두 직선이 평행할 조건은

 

a:a' = b:b' ≠ c:c'

이를 분수로 나타내면,

입니다.

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예) 두 직선 x+2y+3=0과 3x+6y+10=0은

 

3÷1, 6÷2는 모두 3으로 같지만

10÷3은 3이 아니므로 두 직선은 평행합니다.

 

따라서 두 직선은 평행합니다.

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예) 두 직선 4x-2y+1=0과 8x-4y+2=0은

 

4÷8, (-2)÷(-4), 1÷2 모두 1/2로

모두 같습니다.

 

따라서 두 직선은 평행하지 않습니다.

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| 두 직선의 수직 조건

[정리] 두 직선 사이의 관계 (2) : 수직할 조건

 

두 직선 ax+by+c=0, a'x+b'y+c'=0에 대하여 두 직선이 수직일 조건은

 

aa'+b'b=0

 

[증명]

기울기가 m, m'인 두 직선

y=mx+c, y=m'x+c'에 대하여

 

두 직선이 수직이라면

기울기의 곱은 -1입니다.

 

그런데 두 직선을 방정식으로 나타내면

mx-y+c=0, m'x-y+c'=0입니다.

 

x계수의 곱 : m×m' = -1

y계수의 곱 : (-1)×(-1) = 1

 

따라서 mm'+1=0입니다.

 

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예) 두 직선 x+y-1=0과 x-y+3=0에 대하여

a=1, a'=1, b=1, b'=-1

 

aa' = 1×1 = 1bb' = 1×(-1) = -1

 

aa'+bb' = 1+(-1)=0

 

따라서 두 직선은 수직입니다.

 

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예) 두 직선 3x-2y+10=0, 2x-3y+4=0에 대하여

 

a=3, b=-2, a'=2, b'=-3

 

aa' = 6

bb' = 6

 

aa'+bb' = 6+6 = 12

 

따라서 두 직선은 수직이 아닙니다.

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이번 학습지는 하나의 점을 지나고 어떤 직선에 수직하거나 평행한 직선의 방정식을 구하는 문제로 구성했습니다. 두 직선이 평행할 조건과 수직할 조건을 이해하고, 적용해봅시다.

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