나머지정리 (1) : 일차식으로 나눈 나머지 (개념+수학문제)

 

* 수정사항 안내

[2020-12-20 수정] 문제 일부의 답이 잘못 표기되어 있어 고쳤습니다. 학습지에서 수식으로 적혀있지 않은 부분을 고쳤습니다.

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안녕하세요, 학습지제작소입니다.

 

오늘은 고등수학(상)의 다항식 단원의 나머지정리를 공부할 차례입니다.

 

저번 학습지까지는 인수분해를 공부하면서, 다항식을 여러 인수들의 곱으로 표현해보았는데요,

오늘은 다항식을 차수가 낮은 다항식으로 나누었을 때 나머지를 어떻게 구할 수 있는지 이야기해보겠습니다.

 

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| 항등식의 성질은 무엇일까?

 

나머지정리를 본격적으로 배우기 전에, 항등식에 대한 논의가 필요합니다.

항등식이란 어떤 변수 x에 대하여 다항식 P(x), Q(x)가 x의 값에 관계없이 항상 같은 식을 의미합니다.

 

위 두 다항식 P(x), Q(x)에 대하여 두 식은 x에 어떤 값을 넣더라도 값이 항상 같습니다.

따라서 P(x) = Q(x)는 항등식입니다.

 

그렇다면, 항등식의 성질은 무엇일까요?

 

항등식의 성질은 좌변과 우변의 계수들이 모두 서로 같다는 점입니다.

위 P(x)와 Q(x)를 비교해보아도 x의 계수가 각각 3, 상수항이 각각 -1입니다.

이러한 성질을 이용해, 항등식인 식에 관해 문자의 값을 구할 수도 있습니다.

 

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<예제 1>

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위  예제에 대하여 등식 ax+3=2x-b는 항등식입니다.

이때 x의 계수는 a와 2로 서로 같고, 상수항은 3과 -b로 서로 같습니다.

따라서

을 얻을 수 있습니다.

 

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| 나머지정리란 무엇일까?

 

나머지정리란, 다항식 P(x)를 x-a, 즉 일차식으로 나누었을 때 나머지 R에 대하여 다음 식이 성립한다는 정리입니다.

어떻게 이러한 공식을 얻을 수 있을까요? 한 번 P(x)를 x-a로 나누어보겠습니다. 이때 몫을 Q(x)라고 약속한다면,

 

 

라고 표현할 수 있습니다. 이를 검산식으로 나타내면,

 

 

이 됩니다. 고등수학에서는 일반적으로 나눗셈을 나눈 식과 몫의 곱과 나머지의 합으로 나타냅니다.

이 상태에서 x=a를 대입해봅시다.

 

위 식에서 a-a는 0이므로, R을 뺀 나머지 부분은 0이 됩니다.

따라서 나머지 R은 x-a에 대하여 x=a일 때 다항식 P(x)의 값입니다.

 

 

 

 

즉 나머지 정리는,

나누는 수가 0이 되게 만드는 x의 값을 대입한 식의 값입니다.

이해를 위해 예제 두 문제를 풀어봅시다.

 

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<예제 2>

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<예제 2>를 풀기 위해 P(x)를 x+1로 나누어보면,

로 표현할 수 있습니다. 이 상태에서 x에 -1을 대입하면,

이 되어 나머지가 -11임을 알 수 있습니다.

 

 

 

 

 

 

 

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<예제 3>

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<예제 2>를 풀기 위해 나머지정리 꼴로 나타내면,

입니다. 2x-1을 0으로 만드는 x의 값은 1/2이기 때문에 x=1/2를 양변에 대입합니다.

따라서 나머지는 -1/4입니다.

 

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이번 연습문제는 모두 삼차식을 일차식으로 나누었을 때 나머지를 구하는 문제들입니다. 나머지정리를 이용해 나머지를 구해보시길 바랍니다.

 

 

학습지 첨부파일은 아래에 있습니다.

2020SP H1-06(수정본).pdf

0.12MB

그럼 나머지정리 첫 번째 포스팅을 마치겠습니다.

다음 포스팅은 이차식으로 나누었을 때 나머지 구하기 문제로 찾아뵙겠습니다.

 

감사합니다!

 

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