[수학I] 31. 수열의 합 ∑(시그마)의 뜻과 성질 (개념+수학문제)

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* ∑ : 수열의 합

일반항을 아는 수열의 합이 주어진다면 어떻게 간단하게 표현할 수 있을까요?

 

1+2+3+4+...+10은

 

수열 1,2,3,...,10에 대하여 제1항부터 제10항까지 더한 값입니다.

 

그리고 일반항은

과 같이 나타낼 수 있습니다.

 

이때 우리는 기호 ∑를 이용하여 수열의 합을 간단하게 나타낼 수 있습니다. 

∑는 시그마로 읽고 다음과 같을 때 나타낼 수 있습니다.

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[참고] 시그마의 아래 부분은 제 1항부터 더한다는 뜻입니다.

[참고] 시그마의 윗 부분은 제 n항까지 더한다는 뜻입니다.

[참고] a_k는 일반항을 의미합니다. 이때 시그마의 아래 부분에서 선언한 변수에 대한 일반항입니다.

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* ∑를 이용하여 수열의 합 나타내기 

 

∑를 이용하여 수열의 합을 나타내는 방법은 다음과 같습니다.

위에서 든 예를 다시 가져와보면,

 

1+2+3+...+9+10은

 

수열 1,2,3,...,10의 제1항에서 제10항까지 더한 값입니다.

그리고 제n항일 때 일반항은 n입니다.

이를 시그마로 나타내어보면

 

 로 나타낼 수 있습니다.

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* ∑의 성질

∑(시그마)는 다음과 같은 성질을 가집니다.

대강 해석해보면

1) 두 수열의 합의 제1항부터 제n항까지의 합은 각 수열의 제1항부터 제n항까지의 합을 더한 것과 같다.

2) 두 수열의 차의 제1항부터 제n항까지의 합은 각 수열의 제1항부터 제n항까지의 합을 뺀 것과 같다.

3) 수열에 상수가 곱해진 값의 합은 수열의 합에 상수를 곱한 것과 같다.

4) 제1항부터 제n항까지 상수의 합은 상수와 n을 곱한 것과 같다.

 

입니다.

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[참고] 수열의 곱이 주어진 상황에서는 시그마를 떼어놓을 수 없습니다.

[참고] 수열의 첫째항과 마지막항이 같지 않은 상태에서는 시그마의 성질을 적용할 수 없습니다.

대신, 수열의 마지막 항을 맞추면 적용할 수 있습니다. 첫번째 수열의 합을 제9항까지의 합으로 바꾸는 것이죠.

(제 1항부터 제10항까지의 합) = (제1항부터 제9항까지의 합)+제10항

임을 이용합니다.

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* 자연수의 거듭제곱의 합

자연수의 거듭제곱의 합을 ∑로 나타내었을 때 다음 식이 성립합니다.

k, k^2, k^3의 합은 다항식 꼴인 일반항을 가진 수열의 합을 구할 때 필요한 식입니다.

k의 합을 구할 줄 안다면

k^2과 k^3의 합을 쉽게 유도할 수 있습니다.

 

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* 닫는 말

이번 학습지는 시그마 꼴로 주어진 수열의 합을 계산하는 유형으로 담았습니다. 시그마의 뜻과 성질을 이해하고, 자연수의 거듭제곱의 합을 구하면 수열의 합을 계산할 수 있습니다. 문제를 풀어보며 시그마를 계산해봅시다. 

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