[수학I] 29. 등차수열 > 배수의 합, 서로소인 수의 합 (개념+수학문제)

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📄 등차수열의 합

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* 배수의 합

자연수의 범위가 주어졌을 때 자연수 a의 배수는 등차수열로 나타낼 수 있습니다.

 

  a, 2a, 3a, 4a, ... , (n-1)a, na

 

따라서 배수의 합은 등차수열의 합으로 구할 수 있습니다.

 

 배수의 합 구하기 

 

1) 자연수의 범위를 파악한다.

2) 자연수의 범위 안에서 자연수의 배수를 등차수열로 나타낸다.

3) 등차수열의 합을 구한다.

 

예) 100이하의 자연수 중에서 3의 배수의 합을 구하시오.

 

이 문제에서 자연수의 범위는 100이하의 자연수로

3의 배수는 다음과 같은 등차수열로 나타낼 수 있습니다.

 

3, 6, 9, 12, 15, ..., 99

 

이 등차수열의 첫째항은 3, 공차는 3입니다.

이를 일반항으로 나타내면

입니다.

 

일반항에 대입했을 때 n=33일 때 99가 되므로

99는 제 33항입니다.

 

등비수열의 합은

이므로

입니다.

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 a의 배수 또는 b의 배수의 합 구하기 

1) 자연수의 범위를 파악한다.

2) 자연수의 범위 안에서 자연수 a의 배수를 등차수열로 나타낸다.

3) a의 배수의 합을 구한다.

4) 자연수의 범위 안에서 자연수 b의 배수를 등차수열로 나타낸다.

5) b의 배수의 합을 구한다.

6) 자연수의 범위 안에서 자연수 a와 b의 공배수를 등차수열로 나타낸다.

7) 공배수의 합을 구한다.

8) (a의 배수의 합)+(b의 배수의 합)-(공배수의 합)

예) 80이하의 자연수에 대하여 3의 배수 또는 5의 배수인 수들의 합을 구하시오.

 

80이하의 자연수 중 3의 배수를 수열로 나타내면

3,6,9,12,...,78

수열의 합을 구하면 1053입니다.

 

80이하의 자연수 중 5의 배수를 수열로 나타내면

5,10,15,20,...,80

수열의 합을 구하면 680입니다.

 

80이하의 자연수 중 3과 5의 공배수는 15의 배수입니다.

이를 수열로 나타내면

15,30,45,60,75입니다.

수열의 합은 225입니다.

 

따라서 3의 배수 또는 5의 배수인 수들의 합은

1053+680-225=1508

입니다.

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 서로소인 수의 합 구하기 

1) 자연수의 범위를 파악한다.

2) 자연수의 범위에서 자연수의 합을 구한다.

3) 주어진 수의 소인수를 구한다.

4) 3)에서 구한 소인수의 배수의 합을 구한다.

5) 2)에서 4)를 뺀다.

예) 300이하의 자연수에서 9와 서로소인 자연수들의 합을 구하시오.

 

300이하의 자연수의 합은 45150입니다.

 

9를 소인수분해하면 3^2로

9의 소인수는 3입니다.

 

따라서 3의 배수가 아니라면 9와 서로소입니다.

 

300이하의 자연수 중 3의 배수를 등차수열로 나타내면

3,6,9,12, ... ,300

입니다.

 

이 등차수열의 합은 15150입니다.

 

45150-15150=30000

 

따라서 300이하의 자연수 중 9와 서로소인 자연수들의 합은

30000입니다.

 

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* 닫는 말

이번 학습지는 배수인 자연수의 합이나 서로소인 자연수의 합을 구하는 문제입니다. 배수의 합은 등차수열의 합과 같으므로 공차, 첫째항, 마지막 항, 일반항 등을 이용해 그 합을 구할 수 있습니다. 문제를 풀어보며 배수의 합 유형을 익혀봅시다.

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