소인수분해로 최소공배수 구하기 (개념 + 수학문제)

 

안녕하세요, 학습지제작소입니다.

지난 소인수분해로 최대공약수 구하기에 이어서,

오늘은 소인수분해로 최소공배수 구하기에 대해 공부해봅시다.

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| 공배수와 최소공배수

공약수와 최대공약수는 무엇이었는지 기억하나요?

공약수란, 두 개 이상의 자연수의 공통인 약수였고,

최대공약수는 공약수 중 가장 큰 수를 말했습니다.

 

20과 24의 공통된 약수는 1,2,4로,

20과 24의 공약수는 1,2,4입니다.

 

20과 24의 공약수 중 가장 큰 수는 4이므로,

20과 24의 최대공약수는 4입니다.

 

그렇다면 공배수와 최소공배수는 무엇일까요?

공배수란, 두 개 이상의 자연수의 공통인 배수이고,

최소공배수는 공배수 중 가장 작은 수를 말합니다.

 

초등학교 5학년에서 네 가지 개념에 대해 공부해보았는데요,

개념을 되돌아보고 싶으시다면, 아래 포스팅을 함께 읽어보면 좋을 것 같습니다. 😀

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📙 공약수와 최대공약수 복습하기

 

 

[초5] 10. 약수와 배수 > 공약수와 최대공약수 구하기 (개념+연산문제)

📙 공배수와 최소공배수 복습하기

[초5] 11. 약수와 배수 > 공배수와 최소공배수 구하기 (개념+연산문제)

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| 최소공배수의 성질

최소공배수는 모든 공배수의 약수이고,

모든 공배수는 최소공배수의 배수입니다.

 

예) 10과 12의 공배수는 60, 120, 180, 240, 300...으로, 최소공배수 60의 배수입니다.

예) 22와 55의 공배수는 110, 220, 330, 440, 550...으로, 최소공배수 110의 배수입니다.

 

| 최대공약수와 최소공배수의 관계 ( Tip! )

두 자연수 A,B에 대하여 최대공약수를 G, 최소공배수를 L이라 약속하면, 다음 식이 성립합니다.

A×B = G×L

예) 10과 12의 최소공배수를 구할 때, 최대공약수가 2이므로, 10×12=2×L로 대입하여 최소공배수가 60임을 알 수 있습니다.

 

왜 그럴까요?

왜 두 자연수의 곱과 최대공약수와 최소공배수의 곱이 서로 같을까요?

 

소인수분해를 이용해 최대공약수와 최소공배수를 구해보면 그 까닭을 알 수 있습니다.

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| 소인수분해를 이용해 최소공배수 구하기

소인수분해를 이용해 최소공배수를 구해봅시다.

 

10과 12의 최소공배수를 구해볼까요?

 

먼저 10과 12를 각각 소인수분해를 해봅시다.

10과 12의 공배수는 10의 배수이면서 12의 배수인 수입니다.

다시 말해 10과 12의 공배수는

를 모두 만족해야 합니다.

두 조건을 만족하기 위해서는 (2×2)의 배수이면서 3의 배수이면서 5의 배수여야 합니다.

따라서 (2×2), 3, 그리고 5의 곱의 배수일 필요가 있습니다.

10과 12의 공배수는 60×□ 꼴입니다.

그런데 □=1일 때 가장 작으므로,

최소공배수는 60입니다.

 

자, 그럼 우리가 밟아온 과정을 정리해봅시다.

우선 10과 12를 소인수분해한 뒤

두 조건을 모두 만족하는 배수를 찾았습니다.

두 조건을 만족하려면 공통인 소인수는 더 큰 지수를 가진 것으로, 공통이 아닌 소인수는 모두 곱해야 합니다.

 

과정을 표현하면 아래 식과 같습니다.

 

 

 

예) 15와 25의 최소공배수

 

 

오늘의 학습지는 두 자연수의 최소공배수를 구하는 문제입니다.

소인수분해를 이용해 풀어보시길 바랍니다.

 

학습지 첨부파일은 아래에 있습니다.

2020SP M1-12.pdf

0.14MB

 

이상으로 오늘의 포스팅을 마치겠습니다.

감사합니다! 😁

 

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