[중1 수학] 최대공약수 구하기 | 소인수분해로 최대공약수 구하는 법

 

 

 

 

* 최대공약수

 

최대공약수란, 두 자연수에 대하여 공통된 약수 중 가장 큰 자연수를 의미합니다.

 

예) 16과 20의 최대공약수는 16의 약수이면서 20의 약수인 수 중 가장 큰 수입니다.

16의 약수 : 1, 2, 4, 8, 16

20의 약수 : 1, 2, 4, 5, 10, 20

으로, 둘의 공통된 약수는

1, 2, 4입니다.

세 수 중 가장 큰 수는 4이므로, 16과 20의 최대공약수는 4입니다.

 

우리가 초등학교를 다닐 때 최대공약수는 직접 약수를 적은 후 비교하거나,

두 수를 한꺼번에 나누어 구했습니다.

 

초등학교에서 최대공약수를 구하는 법

16과 20이 모두 나누어 떨어지는 수를 찾고, 왼쪽에 나누었던 수(2×2)를 곱하여 최대공약수(4)를 구했었죠.

 

그런데 어떻게 이 방법으로 구할 수 있을까요?

 

처음 16과 20 좌측에 2를 적었다는 의미는 곧 16과 20이 각각 2로 나누어 떨어짐을 의미합니다.

즉, 2는 16과 20의 공약수입니다.

 

8과 10 왼쪽의 2 역시 8과 10이 2로 나누어 떨어진다는 의미이고,

2는 8과 10의 공약수입니다.

 

4와 5는 서로소이므로, 최대공약수가 1입니다.

 

정리하자면 16과 20은 2로 두 번 나눈다면 서로소가 됩니다.

4로 나누면 두 수는 서로소가 되고,

최대공약수는 4입니다.

 

정리 두 자연수에 대하여 서로소가 되도록 나눌 수 있다면, 그 수는 최대공약수입니다.

 

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* 소인수분해로 최대공약수 구해보기

 

그렇다면 소인수분해로 최대공약수는 어떻게 구할 수 있을까요?

 

입니다.

 

두 자연수는 모두 2가 두 번 곱해져 있습니다.

16과 20을 2로 두 번 나눈다면, 두 수는 2×2, 5로 서로소가 됩니다.

두 수의 소인수가 서로 다르다면 서로소이기 때문입니다.

 

중학교에서 최대공약수는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

① 두 자연수를 소인수분해한다.

② 공통된 소인수를 찾는다.

③ 소인수의 지수 중 작은 수를 찾는다.

④ 거듭제곱을 하여 최대공약수를 구한다.

 

예) 20과 50의 최대공약수

① $20 = 2^2×5$ , $50 = 2×5^2$

② 공통된 소인수를 찾는다. (2,5)

③ 소인수 2의 지수는 각각 2와 1이고, 소인수 5의 지수는 각각 1과 2이다.

④ 지수의 최솟값을 거듭제곱으로 표현하면 $2×5=10$

 

답 : 10

 

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* 학습지 미리보기

 

최대공약수 구하기 문제를 소인수분해를 통해 구해보시길 바랍니다.

초등학교 때 썼던 방식보다는 단원이 소인수분해인만큼 소인수분해 과정을 거쳐 구해보세요.

 

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* 첨부파일

2020SP M1-11.pdf

0.13MB

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