소인수분해로 최대공약수, 최소공배수 구하는 법 | 중1 수학 개념 프린트

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📄 소인수분해로 최대공약수 구하기

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* 소인수분해로 최대공약수, 최소공배수 구하기

소인수분해로 최대공약수 구하는 법과 최소공배수 구하는 법을 복습해볼까요?

  * 최대공약수: 둘 이상의 자연수에 대하여 그들의 공통된 약수 중 가장 큰 수

  * 최소공배수: 둘 이상의 자연수에 대하여 그들의 공통된 배수 중 가장 작은 수

 

그전에 개념을 하나 짚어봅시다.

 

"어떤 수의 약수의 지수는 어떤 수의 지수보다 작거나 같습니다."

 

어떤 의미인지 볼까요?

 

예) 32의 약수를 구해봅시다.

  32의 약수는 1,2,4,8,16,32입니다. 그런데 이들을 모두 거듭제곱꼴로 나타내면 특징이 하나 보입니다.

 

$1, 2, 2^2, 2^3, 2^4, 2^5$

 

  32는 $2^5$와 같습니다. 그런데 32의 약수는 모두 밑이 2이고 지수가 5 이하입니다.

  (1은 모든 자연수의 약수이므로 32의 약수에 포함됨) 

 

문제) $2^5 \times 3^4$, $2^2 \times 3^5$의 최대공약수와 최소공배수를 구해봅시다.

1) 최대공약수 구하기

  두 자연수의 공약수는 2 또는 3을 소인수로 가지며, 2의 지수는 5 이하이면서 2이하, 3의 지수는 4 이하이면서 5이하입니다.
  따라서 2의 지수는 2이하, 3의 지수는 4이하입니다. 
  즉, 최대공약수는 소인수를 공통으로 가질 때, 두 지수 중 작은 값을 지수로 갖는 수의 곱입니다.

 

  (풀이) 밑이 2일 때 지수는 5와 2 중 작은 2입니다.

  밑이 3일 때 지수는 4와 5 중 작은 4입니다.

  따라서 $2^2 \times 3^4$입니다.
​

2) 최소공배수 구하기

  반대로 두 자연수의 공배수는 2 또는 3을 소인수로 가지며, 2의 지수는 5 이상이면서 2이상, 3의 지수는 4 이상이면서 5이상입니다.
  따라서 2의 지수는 5이상, 3의 지수는 4이상입니다.
  즉, 최소공배수는 모든 소인수에 대하여, 지수의 최댓값을 지수로 갖는 수의 곱입니다.

 

  (풀이) 밑이 2일 때 지수는 5와 2 중 큰 5입니다.

  밑이 3일 때 지수는 4와 5 중 큰 5입니다.

  따라서 $2^5 \times 3^5$입니다.

 

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* 첨부파일

2019TS M1-05(재작성).pdf

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오늘은 2019년에 만들었던 소인수분해 관련 문제를 재구성하여 자료를 다듬어 올려봅니다.

소인수분해 중 최대공약수와 최소공배수 구하기를 집중적으로 연습하실 수 있습니다.

항상 방문에 감사드립니다.

행복하세요^^

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