소수와 합성수 (개념+수학문제)

 

 

안녕하세요, 학습지제작소입니다.

 

오늘은 중학교 1학년 포스팅을 하려는데요,

중1 수학 포스팅 순서를 조금 조정하려고 합니다.

 

원래 중학교 1학년 포스팅은 문자와 식을 먼저 나간 후, 소인수분해, 정수와 유리수 순서로 하려고 했습니다.

이를 지난 주에 일차식으로 정리하기까지 공부한 것을 끊고, 소인수분해와 정수와 유리수를 차근차근 풀이한 뒤, 일차방정식의 활용으로 넘어가려고 합니다.

 

그래서 9번 학습지부터는 소인수분해를 공부합니다. 학습지 리스트에는 단원별로 정리되어 있으니, 학습지를 검색하실 때에는 큰 문제는 없을 거에요.

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| 소수와 합성수

 

중학교를 입학하고 처음 수학책을 펴면, 소수라는 표현이 등장합니다. 아이들은 소수를 배웠기 때문에 자신감을 갖고 교과서를 읽어봅니다. 그런데 소숫점이 없다는 것을 알 게 되고, 처음으로 당황하죠.

수학에서는 '소수'라는 표현이 두 가지가 있습니다. 소숫점으로 자연수가 아닌 수를 표현하는 소수(decimal)와 오늘 공부할 자연수 중 소수(prime number)입니다.

 

소수를 알기 위해서는 약수를 구해볼 필요가 있습니다.

모든 자연수는 하나 이상의 약수를 가집니다. 예를 들어 2는 1과 2를, 9는 1과 3, 9를 약수로 가집니다.

우리는 이 중 약수의 개수가 2개인 수를 소수라고 약속합니다. 2는 약수가 1과 2밖에 없으므로 소수입니다.

 

소수의 소( 素 )는 바탕이라는 의미를 가집니다. 과학에서 원소가 물질을 구성하듯이, 소수는 자연수를 구성합니다.

2 이상의 모든 자연수는 소수이거나 소수끼리의 곱으로 나타낼 수 있습니다.

 

110, 27, 17 네 자연수를 분석해봅시다.

 

110은 1,2,5,10,11,22,55,110을 약수로 갖습니다. 따라서 소수가 아닙니다.

하지만 110은 2와 5, 11의 곱(2×5×11)으로 나타낼 수 있는데, 2,5,11은 모두 소수입니다.

 

27은 1,3,9,27을 약수로 갖습니다. 따라서 소수가 아닙니다.

하지만 3끼리의 곱(3×3×3)으로 나타낼 수 있는데, 3은 모두 소수입니다.

 

17은 1,17을 약수로 갖습니다. 따라서 소수입니다.

 

우리는 110과 27과 같이 소수끼리의 곱으로 나타낼 수 있는 수를 합성수라고 부릅니다.

 

따라서 2이상의 모든 자연수는 소수 또는 합성수로 이루어져 있습니다.

 

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| 1은 소수인가, 합성수인가?

 

그렇다면, 1은 소수일까요, 합성수일까요?

 

우리는 대부분의 자연수가 소수 또는 합성수임을 알아보았습니다. 하지만 자세히 읽어보면 하나의 조건이 붙어있음을 알 수 있습니다.

 

2이상의 모든 자연수

 

이 조건은 자연수 1이 제외되어 있는 조건입니다. 그렇다면, 1은 소수일까요, 합성수일까요?

정답은 '둘 다 아니다'입니다.

 

소수이기 위해서는 약수가 2개이어야 합니다. 합성수는 소수의 곱으로 이루어져 있기 때문에 약수의 개수가 더 많습니다.

그런데 1은 약수가 1밖에 없습니다. 약수의 개수가 1개이기 때문에 소수일 조건을 충족하지 못합니다.

소수가 될 수 없기 때문에 합성수 역시 될 수 없습니다.

 

따라서 1은 소수도, 합성수도 아닙니다.

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| 1부터 100까지의 소수와 합성수

 

100이하의 자연수에 대하여 소수와 합성수로 분류하면 아래와 같습니다.

 

* 둘다 아님 : 1

* 소수(25개) : 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79,83,89,97

* 합성수(74개) : 4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20,21,22,24,25,26,27,28,30,32,33,34,35,36,38,39,40,42,44,45,46,48,49,50,51,52,54,55,56,57,58,60,62,63,64,65,66,68,69,70,72,74,75,76,77,78,80,81,82,84,85,86,87,88,90,91,92,93,94,95,96,98,99,100

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오늘의 학습지는 자연수가 소수인지 합성수인지 구분하는 문항 50개로 준비해보았습니다.

 

소수와 합성수를 분류하는 연습이 되길 바라요.

 

첨부파일은 아래에 있습니다.

2020SP M1-09.pdf

0.15MB

 

오늘도 여러분의 수학공부를 응원합니다.

다음 주에는 더 양질의 포스팅으로 돌아오겠습니다.

감사합니다^^

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