최대공약수와 최소공배수 사이의 관계 (개념+연습문제)

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* 최대공약수와 최소공배수의 관계

두 자연수의 최대공약수와 최소공배수 사이에는 어떤 관계가 있을까요?

 

예) 21과 30의 최대공약수와 최소공배수를 구해봅시다.

21을 소인수분해하면 3×7

30을 소인수분해하면 2×3×5입니다.

 

두 자연수의 최대공약수는 3

최소공배수는 2×3×5×7입니다.

 

그런데, 21과 30의 곱은 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

그렇다면 두 자연수의 최대공약수와 최소공배수를 곱하면 어떻게 될까요?

놀랍게도 결과가 일치합니다.

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최대공약수와 최소공배수의 곱은 두 자연수의 곱과 같습니다. 왜 그럴까요?

두 자연수 A,B의 최대공약수를 G라고 놓을 때 A와 B는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.

A = G × a

B = G × b (단, a,b는 자연수)

 

이때 두 자연수의 곱은 A×B = G×a×G×b입니다.

최대공약수는 G

최소공배수는 G×a×b이므로

최대공약수와 최소공배수의 곱은 두 자연수의 곱과 같습니다. 

 

[정리] 최대공약수와 최소공배수의 곱은 두 자연수의 곱과 같다.

 

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예제를 풀어봅시다.

문제에서는 두 자연수 중 하나가 N(미지수)으로 주어져 있습니다.

 

[방법 1: 최대공약수로 나누어 풀기]

먼저 최대공약수로 두 수를 나누어 문제를 해결해봅시다.

따라서 N의 값은 21입니다.

 

[방법 2 : 최대공약수와 최소공배수의 관계를 이용하여 풀기]

그렇다면 위에서 공부한 최대공약수와 최소공배수 사이의 관계를 적용해볼까요?

최대공약수와 최소공배수를 곱하면 3×210 = 630입니다.

630은 N과 30의 곱과 같습니다.

따라서 N의 값은 630÷30=21입니다.

 

두 풀이 방법 중 자신에게 맞는 방법으로 푸시면 됩니다.

학습지에서는 첫번째 방법을 해설로 달아놓았습니다.

 

 

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* 학습지 미리보기

 

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* 첨부파일

2021SP M1-43(최대공약수와 최소공배수의 관계).pdf

0.17MB

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* 닫는 말

이번 학습지부터는 문제 풀이 해설을 달아 공부하실 때 참고할 수 있도록 만들었습니다. 

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앞으로도 여러분의 수학 공부, 수학 지도에 동반자가 되기 위해 노력하겠습니다. 감사합니다.

 

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