[중2-2] 3. 외심의 뜻과 성질 (+연습문제)

 

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| 외접, 외접원, 외심

외접하는 삼각형

삼각형의 세 꼭짓점이 하나의 원 위에 있을 때, 이 원은 삼각형에 외접한다고 부릅니다.

이때 외접하는 원을 줄여서 외접원이라고 부르며,

외접원의 중심을 외심이라고 부릅니다.

 

위 그림에서 삼각형 ABC의 외심은 점 O임을 알 수 있습니다.

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| 외심의 성질

[정리] 삼각형 ABC와 외심 O는 다음과 같은 성질을 가집니다.

 

1) 외심은 삼각형을 이루는 세 변의 수직이등분선의 교점입니다.

2) 외심과 삼각형의 꼭짓점 사이의 거리는 서로 같습니다.

 

원이 삼각형을 외접하기 때문에

외심과 각 꼭짓점 사이의 거리는 반지름으로 서로 같습니다.

 

(선분 OA의 길이) = (선분 OB의 길이) = (선분 OC의 길이)

따라서 외심으로 인해 나누어지는 세 삼각형 OAB, OBC, OCA는 모두

이등변삼각형입니다.

 

이등변삼각형의 수선은 밑변을 수직이등분하므로,

외심은 세 변의 수직이등분선의 교점임을 알 수 있습니다.

 

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| 외심을 포함한 삼각형에서 각 구하기

외심을 포함한 삼각형에서 각을 구할 때는 

크게 두 가지 공식을 이용할 수 있습니다.

 

1) a+b+c=90

삼각형 ABO, BCO, CAO 모두 이등변삼각형이므로

a+b+c의 2배는 삼각형의 내각의 합과 같습니다.

 

2(a+b+c)=180a+b+c=90

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2) x=2a

각 BAO를 bº, 각 CAO를 cº라고 놓으면a=b+c입니다.

 

각 OBC와 각 OCB의 크기의 합은180-2(b+c)=180-2a입니다.

 

각 BOC의 크기는 삼각형의 내각의 합에서

각 OBC와 각 OCB의 크기를 빼야 하므로

180-(180-2a)=2a입니다.

 

따라서 x는 a의 2배입니다.

 

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| 닫는 말

이번 학습지는 삼각형의 외심을 이해하고, 외심의 성질을 이용해 여러 가지 도형을 해석하는 문항으로 구성했습니다.

 

외심이 외접원의 중심임을 떠올리고, 원의 성질을 생각한다면 외심의 성질을 잘 유도할 수 있습니다.

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