[수학I] 10. 로그함수의 그래프, 정의역, 점근선, 평행이동, 대칭이동 (개념+수학문제)

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| 로그함수란?

로그함수란, 두 변수 x,y와 실수 a(단 a>1)에 대하여

y=(x에 대한 로그식)

을 만족하는 함수를 의미합니다.

 

로그함수 y=log_a(x)는 다음과 같은 특징을 가집니다.

 

[정리]  y=log_a(x)의 정의역은 {x|x>0}이다.

 

[정리]  y=log_a(x)의 치역은 {y|y는 실수}이다.

 

[정리]  y=log_a(x)의 점근선은 x=0이다.

 

[정리]  y=log_a(x)는 증가함수이다. (x의 값이 증가하면 y의 값도 증가한다)

 

[정리]  y=log_a(x)를 x의 방향으로 p만큼, y의 방향으로 q만큼 평행이동하면

y=log_a(x-p)+q가 된다.

 

[정리]  y=log_a(x)를 대칭이동한 함수는 다음과 같다.

* y축에 대하여 대칭이동 : y=log_a(-x)

* x축에 대하여 대칭이동 : y= - log_a(x)

* 원점에 대하여 대칭이동 : y= - log_a(-x)

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| 로그함수의 그래프

a>1일 때, 로그함수 y=log_a(x)의 그래프는 다음과 같습니다.

로그함수 y=log_a(x)는 점근선이 x=0이고, (1,0)을 지나며, 증가하는 곡선입니다.

 

예) y=log_2(x)를 그려봅시다.log_2(2)=1이므로, 이 함수는 (1,0), (2,1)을 지납니다.

 

따라서 y=log_2(x)의 그래프는 다음과 같습니다.

y=log_2(x)의 그래프

y=log_2(x)를 x의 방향으로 1만큼 옮겨봅시다.

 

y=log_2(x)을 x의 방향으로 1만큼 평행이동하면

y=log_2(x-1)이 됩니다.

y=log_2(x-1)의 그래프

 

 

y=log_2(x-1)의 그래프를 y축의 방향으로 2만큼 평행이동해봅시다.

 

이 경우 (2,2), (3,3)을 지나는 로그함수 그래프가 되고,

그래프는 아래와 같습니다.

y=log_2(x-1)+2의 그래프

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| 로그함수의 대칭이동

a>1일 때, y=log_a(x-p)+q를 대칭이동한 그래프는 다음과 같습니다.

 

y축에 대하여 대칭이동 : y = log_a(-x-p)+q

x축에 대하여 대칭이동 : y = - log_a(x-p)-q

원점에 대하여 대칭이동 : y = - log_a(-x-p)-q

 

y=log_a(x-p)+q를 기준으로 정의역, 점근선, 증가함수의 여부는 다음 표와 같습니다.

[보충] 로그함수의 치역은 실수 전체의 집합입니다. 

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| 첨부파일

2020SP H2-10.pdf

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| 닫는 말

  로그함수는 정의역, 치역, 점근선, 평행이동, 대칭이동까지 종합적으로 분석해야 그래프를 그릴 수 있습니다. 문제를 풀어보면서 로그함수를 해석하고 표현하는 연습을 해보세요.

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