좌표평면 위의 삼각형(도형)의 넓이 구하기 (개념+수학문제)

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| 삼각형의 넓이 구하기

일반적으로 삼각형의 넓이는 다음과 같은 방법으로 구할 수 있습니다.

 

(삼각형의 넓이) = {(밑변)×(높이)}÷2

 

중학교 좌표평면 위의 삼각형은 크게 두 유형이 있습니다.

 

   | (1) 적어도 하나의 밑변이 x,y축과 일치하거나 나란한 경우

   | (2) 모든 삼각형의 변이 x,y축과 나란하지 않는 경우

 

(1)번의 경우 초등학교 때 배운 삼각형의 넓이 공식을 쓸 수는 있지만,

(2)번의 경우 적용하기 어렵습니다.

 

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(1) 적어도 하나의 변이 x,y축과 일치하거나 나란한 경우

 

세 점 A(3,5), B(-2,3), C(3,3)에 대하여 A,B,C를 꼭짓점으로 갖는 삼각형의 넓이를 구하시오.

 

세 점을 좌표평면에 나타내어봅시다.

A의 x좌표는 3, y좌표는 5입니다.

B의 x좌표는 -2, y좌표는 3입니다.

C의 x좌표는 3, y좌표는 3입니다.

 

세 점을 좌표평면으로 나타내면 다음과 같습니다.

세 점을 선분으로 이으면 삼각형 ABC를 만들 수 있습니다.

삼각형 ABC는 직각삼각형이므로

삼각형의 밑변은 선분 BC, 높이는 선분 AC로 놓을 수 있습니다.

 

따라서 삼각형의 넓이는

 

{(선분 BC의 길이)×(선분 AC의 길이)}÷2이므로

5×2÷2 = 5

입니다.

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(2) 어떠한 변도 x,y축과 서로 나란하지 않는 경우

그림과 같이 A(1,-3), B(-2,1), C(2,2)인 경우 삼각형의 넓이는 어떻게 구할 수 있을까요?

이 경우 모든 변이 축과 나란하지 않아 밑변과 높이를 구할 수 없습니다.

 

어떠한 변도 축과 나란하지 않는 경우, 삼각형을 포함하는 직사각형을 통해 넓이를 구할 수 있습니다.

삼각형 ABC를 포함하는 직사각형을 좌표평면에 나타내면 다음과 같습니다.

직사각형의 넓이(붉은색 부분)는 가로의 길이가 4, 세로의 길이가 5이므로

20입니다.

여기서 삼각형 ABC가 아닌 영역(연노란색 부분)을 빼면 삼각형 ABC의 넓이를 구할 수 있습니다.

연노란색 세 부분의 넓이는 각각

 

(4×1)÷2

(3×4)÷2

(1×5)÷2로

 

2, 6, 5/2입니다.

따라서 연노란색 부분의 합은 21/2입니다.

 

(직사각형의 넓이)-(연노란색의 넓이)

입니다.

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[정리] 삼각형의 변 중 축과 나란한 변이 있을 경우

1) 축과 나란한 변을 밑변으로 잡고, 밑변의 길이를 구한다.

2) 밑변에 수직인 높이의 길이를 구한다.

3) 밑변과 높이의 길이를 이용해 삼각형의 넓이를 구한다.

 

[정리] 삼각형의 어떤 변도 축과 나란하지 않을 경우

1) 삼각형을 포함한 직사각형을 그리고, 직사각형의 넓이를 구한다.

2) 직사각형에서 삼각형에 포함되지 않은 세 영역(직각삼각형)의 넓이를 구한다.

3) 1)-2)를 계산하여 삼각형의 넓이를 구한다.

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[2022-11-19 수정] Day 1번 10번 문항의 답이 잘못 기재된 부분을 수정하였습니다. Day 2번 문항과 Day 1번 문항이 일치하여 새로운 문제로 바꾸었습니다.

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| 닫는 말

좌표평면 위의 세 점을 찍고 삼각형을 그려본 뒤, 삼각형의 넓이를 어떻게 구할 수 있을지 생각해보아야 합니다. 상황에 알맞게 넓이를 구하는 전략을 세우고, 문제 풀이에 적용해보도록 합니다. x,y좌표에 알맞은 점을 찍어야 알맞은 삼각형의 넓이를 구할 수 있습니다.

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