[중1-2] 다각형의 대각선의 개수, 다각형의 내각의 크기, 외각 (개념+수학문제)

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* 다각형

다각형이란, 여러 개의 선분으로 둘러싸인 도형을 말합니다.

이때 다각형의 선분의 개수에 따라 삼각형, 사각형, 오각형, 육각형...이라고 부릅니다.

 

예) 선분의 개수가 3개인 다각형: 삼각형

예) 선분의 개수가 7개인 다각형: 칠각형

 

[개념] 다각형과 다각형이 아닌 것

▶ 왼쪽 하늘색 상자 안의 도형은 모두 다각형입니다. 각각 4개, 5개, 8개의 선분으로 둘러싸여 있습니다.

▶ 오른쪽 노란색 상자 안의 도형은 다각형이 아닙니다.

  - 왼쪽 도형(원)은 선분으로 둘러싸여있지 않습니다.

  - 오른쪽 도형은 선분으로 둘러싸여있지 않고 끊어져 있습니다.

 

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* 다각형의 대각선 개수

[개념] 다각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 개수

다각형에 따라 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선의 개수는 다음과 같습니다. 출발점과 이웃한 두 점을 제외하므로 변의 개수보다 3만큼 작습니다.

삼각형	없음
사각형	1개
오각형	2개
육각형	3개
(...)	(...)
$n$각형	$(n-3)$개

예) 십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 개수: $7$개

예) 이십각형의 한 꼭짓점에서 그을 수 있는 대각선 개수: $17$개

 

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그림과 같이 오각형 ABCDE가 있습니다. 대각선은 모두 몇 개일까요?

점 A에서 그을 수 있는 대각선은 선분 AC, AD로 모두 2개입니다.

점 B에서 그을 수 있는 대각선은 선분 BD, BE로 모두 2개입니다.

점 C에서 그을 수 있는 대각선은 선분 CA, CE로 모두 2개입니다.

점 D에서 그을 수 있는 대각선은 선분 DA, DB로 모두 2개입니다.

점 E에서 그을 수 있는 대각선은 선분 EB, EC로 모두 2개입니다.

 

그런데 선분 AC와 CA, 선분 AD와 DA와 같이 선분이 2개씩 겹칩니다.

따라서 2로 나누면 오각형의 대각선 개수는

$\cfrac{5 \times 2 } {2} = 5$(개)가 됩니다.

 

[개념] 다각형의 대각선 개수

다각형의 대각선 개수는 다음과 같이 구할 수 있습니다.

다각형	변의 개수(개)	한 점에서 그을 수 있는 대각선의 개수(개)	대각선의 개수(개)
사각형	$4$	$1$	$\cfrac{4 \times 1 } {2} = 2$
오각형	$5$	$2$	$\cfrac{5 \times 2 } {2} = 5$
육각형	$6$	$3$	$\cfrac{6 \times 3 } {2} = 9$
칠각형	$7$	$4$	$\cfrac{7 \times 4 } {2} = 14$
팔각형	$8$	$5$	$\cfrac{8 \times 5 } {2} = 20$
구각형	$9$	$6$	$\cfrac{9 \times 6 } {2} = 27$
십각형	$10$	$7$	$\cfrac{10 \times 7 } {2} = 35$
(...)
$n$각형	$n$	$n-3$	$\cfrac{n \times (n-3) } {2} $

 

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* 정다각형의 내각, 외각

[개념] 정다각형: 정다각형이란, 변의 길이가 서로 같고 내각의 크기가 서로 같은 다각형을 말합니다.

  예) 정삼각형, 정사각형, 정오각형

 

[개념] 정다각형의 내각의 크기

정다각형의 내각의 크기는 한 꼭짓점에서 대각선을 그어 구할 수 있습니다.

그림과 같이 정오각형 ABCDE의 꼭짓점 A에서 두 대각선을 그으면 3개의 삼각형이 만들어집니다.

따라서 5개의 내각의 크기의 합은 삼각형 3개의 내각의 합과 같습니다.

삼각형 3개의 내각의 합은 $180° \times 3 = 540°$입니다.

 

이처럼 다각형의 내각의 합은 다음과 같은 규칙이 있습니다.

다각형	삼각형	사각형	오각형	육각형	(...)	$n$각형
내각의 합(°)	180	360	540	720	(...)	$180 \times (n-2)$

한 내각의 크기는 내각의 합을 꼭짓점의 개수로 나누면 되므로 다음과 같습니다.

다각형	삼각형	사각형	오각형	육각형	(...)	$n$각형
내각의 합(°)	180	360	540	720	(...)	$180 \times (n-2)$
꼭짓점(개)	3	4	5	6	(...)	$n$
한 내각의 크기(°)	60	90	108	120	(...)	$\cfrac{180 \times (n-2)}{n}$

[개념] 정다각형의 외각의 크기

정다각형의 외각의 합은 항상 360°입니다.

까닭) 정다각형의 외각과 내각의 크기를 모두 더하면 $180 n°$입니다. 여기에서 내각의 합인 $180 \times (n-2)°$를 빼면 항상 $360°$가 남습니다.

 

이러한 이유로 정n각형의 한 외각의 크기는 $( \cfrac{360}{n} )°$입니다. 정다각형의 외각의 크기는 서로 같기 때문입니다.

 

다각형	삼각형	사각형	오각형	육각형	(...)	$n$각형
외각의 합(°)	360	360	360	360	(...)	360
꼭짓점(개)	3	4	5	6	(...)	$n$
한 외각의 크기(°)	120	90	72	60	(...)	$\cfrac{360}{n}$

 

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* 첨부파일

2022WS M1-04(다각형)_colored.pdf

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* 닫는 말

이번 시간에는 평면도형 단원의 다각형을 살펴보았습니다. 새로운 개념과 공식이 나와 어려운 내용입니다. 공식을 단순히 외우기보다는 사례를 바탕으로 공식을 이해해보세요.

 

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