[직선의 방정식] 삼각형, 사각형의 넓이를 이등분하는 직선 | 고등수학(상)

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삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식

삼각형의 한 꼭짓점을 지나고 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식은 다음과 같습니다. 점 A를 지나고 삼각형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식은 점 A와 선분BC의 중점인 점 M을 지나는 직선입니다. ①(삼각형 ABM의 넓이)와 ②(삼각형 ACM의 넓이)를 구할 때 밑변의 길이와 높이는 서로 같습니다. 따라서 ①과 ②는 서로 같습니다. 즉, 선분 AM은 삼각형 ABC의 넓이를 이등분합니다. 정리하자면, 한 꼭짓점과 마주보는 변의 중점을 잇는 선분(중선)은 삼각형의 넓이를 이등분합니다.

예) 서로 다른 세 점 A(1,-3), B(-5,3), C(-3,-1)을 꼭짓점으로 하는 삼각형 ABC가 좌표평면 위에 놓여 있다. 점 C를 지나고 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구하여라.

 

[풀이] 점 C를 지나고 삼각형 ABC의 넓이를 이등분하기 위해서는 선분 AB의 중점을 지나야 한다. 이 중점을 M이라 놓으면,

M(-2,0)이다. 직선 CM의 방정식은 $y=(x+3)-1$이 되고, 정리하면 $y=x+2$이다.

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* 직사각형/마름모의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식

직사각형/마름모의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식

평행사변형 ABCD의 두 대각선의 교점(M)을 지나는 직선은 평행사변형을 이등분합니다. 어떤 직선이 점 M을 지날 때 ③과 ④영역의 넓이는 서로 같습니다. (ASA합동) A: 파란 직선과 선분 AD가 이루는 맞꼭지각은 서로 같다. S: 평행사변형의 한 대각선은 다른 대각선을 이등분하므로 $\overline{AM} = \overline{DM}$ A: 각 BAM과 각 CDM은 엇각으로 서로 같다. ③과 ④영역의 넓이가 서로 같으므로 점 M을 지나는 직선은 평행사변형을 이등분합니다. [중요] 직사각형은 평행사변형이므로 직사각형에 대해서도 성립합니다. [중요] 마름모는 평행사변형이므로 마름모에 대해서도 성립합니다. [참고] 정사각형은 평행사변형이므로 마름모에 대해서도 성립합니다.

예) 그림과 같이 좌표평면 위에 직사각형 ABCD가 있다. 점 (-1,2)를 지나고 직사각형 ABCD의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식을 구하여라.

 

[풀이] 직사각형의 두 대각선의 교점을 지나는 직선은 직사각형을 이등분한다.
직사각형 ABCD의 두 대각선의 교점을 P라고 놓으면 점 P의 좌표는 P(4,3)이다.
점 (-1,2)를 지나고 P(4,3)을 지나는 직선의 기울기는

$\frac {3-2}{4-(-1)} = \frac{1}{5}$

이므로 

$y=\frac{1}{5} (x+1) +2$

이다. 정리하면, 

$y = \frac{x}{5} + \frac{11}{5}$

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* 첨부파일

2022TS H1-04(평면도형의 넓이를 이등분하는 직선의 방정식 구하기)_colored.pdf

0.27MB

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