[수학I] 3. 로그, 밑, 진수의 뜻 (개념+수학문제)

안녕하세요, 학습지제작소입니다.

 

오늘은 고등학교 2학년 수학 I을 포스팅해보려고 합니다.

벌써 세 번째 포스팅이네요.

 

지금까지 지수의 확장에 대해 이야기해보았었는데요,

관심있으신 분들은 아래 링크를 활용하시길 바랍니다.

 

<수학 I 지수 개념설명-문제 보기>

[수학I/수학문제] 1. 지수함수와 로그함수 > 지수의 확장 (1)

 

[수학I/수학문제] 2. 지수함수와 로그함수 > 지수의 확장 (2)

오늘은 로그에 대해 공부해 볼 차례인데요, 로그는 고등학교에서 배우는 새로운 연산 중에 하나이기 때문에, 로그 자체의 의미를 깊게 살펴볼 필요가 있습니다.

 

오늘은 로그의 의미에 대해 알아보고, 로그의 구성요소에 대해 살펴본 후, 여러 예제를 풀어보는 순서로 공부해봅시다.

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1. 로그의 의미

 

  1) 왜 단원명이 지수함수와 로그함수일까?

 

  수학 I의 1단원은 지수함수와 로그함수입니다. 그리고 우리는 지수에 대해 배운 적이 있습니다. 그렇다면 왜 교육과정에서는 지수와 로그를 한데 묶어놓는 것일까요? 그 까닭을 알기 위해서는 밑, 지수와 값의 관계에 대해 알 필요가 있습니다.  

    지수의 장점은 무엇이었을까요? 지수는 큰 수를 간단히 나타낼 수 있다는 점에서 굉장히 유용한 수학 요소입니다.

 

1억을 세 숫자로 간추리는 법

   그렇다면 큰 수를 작게 나타낼 수 있는 방법은 없을까요? 밑과 지수로 큰 값을 만들었다면, 큰 값과 밑으로 지수를 표현한다면 효율적으로 수를 표현할 수 있습니다. 이것이 로그입니다.

 

 

 2) 로그의 의미

 

 조금 더 자세히 이야기해본다면, 로그의 정의는 밑을 a, 지수 x로 표현할 수 있는 수 N에 대하여,

  로 표현할 수 있습니다. 즉, N을 a를 밑으로 가질 때 지수의 값이 로그입니다.

 

  예)

2. 로그의 구성요소

  1) 밑

   위 로그에 대하여 a를 밑이라고 부릅니다.

   밑은 0이상의 실수이며, 1이 될 수 없습니다. 1이 되지 않는 까닭은 N이 1이 아니라면 어떠한 거듭제곱도 N을 만들 수 없기 때문입니다.

a에 어떤 값을 넣어도 2를 만들 수 없다.

  따라서 밑 a에 대한 조건은 

입니다.

 

 

  2) 진수

  위 로그에 대하여 N을 진수라고 부릅니다.

   진수는 0이상의 실수입니다. 진수가 양의 실수인 까닭은 양의 실수인 밑을 어떻게 거듭제곱하더라도 0이하의 수를 만들 수 없기 때문입니다.

  따라서 진수 N에 대한 조건은

입니다.

 

 

3. 로그 값 구하기

   자연수 a,N에 대하여 우리는 로그 값을 구할 수 있습니다.

 

  밑, 진수가 자연수/단위분수인 경우, 위와 같이 로그 값을 구할 수 있습니다.

 

 

 예)

$\log_2{8} = \log_2{2^3} = 3$

$\log_2{\cfrac{1}{4}} = \log_2{2^{-2}} = -2$

$\log_{\frac{1}{3}}{9} = \log_{\frac{1}{3}}{3^{2}} = -2$

$\log_{\frac{1}{5}}{\cfrac{1}{25}} = \log_{\frac{1}{5}}{\cfrac{1}{5^2}} = 2$

 

  그리고, 밑이나 진수에 근호가 붙어 있거나, 소수인 경우에는 다음과 같이 로그 값을 구합니다.

밑이 소수인 경우에는 분수로 고쳐 로그로 표현할 수 있다.

예)

이와 같이 로그 값은 밑을 진수로 만드는 지수 값입니다.

그리고, 밑이 3 진수가 5인 경우처럼 특정한 유리수로 표현할 수 없는 경우도 있습니다. 이런 경우에는 로그를 붙여 그대로 사용합니다.

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오늘의 학습지는 오늘 살펴본 유형을 문제로 제시하여, 로그의 의미를 생각해보고 값을 구해봄으로써 양감을 다질 수 있도록 준비했습니다. 로그는 새로운 연산이므로, 반복적인 연습을 해야 추후 로그의 연산에서 헷갈리지 않을 수 있습니다.

 

학습지 첨부파일은 아래와 같습니다.

2020SP H2-03.pdf

0.13MB

그럼 다음 포스팅 때 뵙겠습니다~

감사합니다 :)

 

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