수학적 확률과 통계적 확률

수학 5학년 2학기 '평균과 가능성' 단원에서는 사건이 일어날 가능성을 말과 수로 표현해본다. 확률은 일상생활에서 미래의 일을 예측하기 위해 필요하다. 이번 글에서는 확률의 두 가지 종류, 수학적 확률과 통계적 확률에 대해 정리하고자 한다.

 

가. 수학적 확률

  1) 수학적 확률은, 확률을 (사건이 일어날 경우의 수)÷(모든 경우의 수)로 나타낸 것을 말한다. 수학적 확률을 설명하기 위해서는 다음과 같은 전제가 필요하다.

    ① 전제

      ⓐ 같은 조건 속에서 동일한 시행을 여러 번 반복할 수 있어야 한다.

      ⓑ 각 사건이 일어날 가능성이 모두 같다. (이상화)

      [참고] 주사위의 각 면의 넓이는 정확히 서로 같지 않습니다. 주사위의 무게중심 역시 정확히 정육면체의 무게중심과 같지 않습니다. 하지만 우리는 주사위의 각 눈이 나올 가능성이 서로 같다고 약속합니다. 이러한 수학적 지식 특성을 이상화라고 부릅니다.

  2) 선험적 확률: 선험적이란, '경험하기 이전의'라는 의미이다. 수학적 확률은 실제로 시행을 해 보기 전에 확률을 미리 알아볼 수 있다.

    예) 주머니 속에 빨간 공이 3개, 노란 공이 1개 있을 때, 주머니에서 하나의 공을 꺼냈을 때 노란 공일 가능성은 1/4이다. 

    예) 동전 한 개를 던졌을 때 앞면이 나올 가능성은 반반이다.

 

나. 통계적 확률

  1) 통계적 확률은 시행을 끊임없이 반복했을 때 얻는 확률값을 말한다.

  2) 상대도수의 극한값: 시행 횟수를 무한으로 보낼 때, 수렴하는 상대도수의 극한값을 말한다.

    ① 시행을 무한히 반복해야 한다.

    ② 상대도수가 일정한 값에 수렴해야 한다.

  3) 경험적 확률: 경험으로 축적한 자료를 근거로 확률값을 얻는다.

  예) 주머니 속에 빨간 공이 3개, 노란 공이 1개 있다. 주머니에서 하나의 공을 꺼내는 시행을 1000번 반복했을 때, 노란 공이 나온 횟수는 249번이었다. 따라서 주머니에서 하나의 공을 꺼냈을 때 노란 공일 가능성은 1/4에 수렴한다.

  예) 학생들은 경험적으로 해가 동쪽에서 뜬다는 사실을 인지한다. 이를 바탕으로 '내일 동쪽에서 해가 뜬다.'에 대해 '확실하다'라고 말할 수 있다.

 

다. 교과서 활동으로 제시된 일에 일어날 가능성(5-2)

  1) 수학적 확률

    ① 동전을 던지면 그림 면이 나올 것이다.

    ② 흰색 바둑돌이 들어있는 통에서 바둑돌 1개를 꺼낼 때, 검은 색일 가능성은 0이다.

  2) 통계적 확률

    ① 오늘 길에서 살아있는 공룡을 볼 것이다.

    ② 내년 12월 달력에는 날짜가 33일까지 있을 것이다.

 

참고 자료: 5학년 2학기 수학 교사용 지도서(2019, 교육부)

 

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