[고등수학(상)] 이차함수의 최대 최소 (개념+연습문제)

* 보충 학습지

이 학습지는 '보충 학습지로' 과거 프리미엄 학습지로 운영했던 자료입니다.

정규 학습지에서 더 풀어보고 싶거나 새로운 유형을 풀고 싶으실 때 활용하시면 좋겠습니다.

 

* 고등학교 1학년 수학 학습지에 이차함수 최대최소를 다루지 않아서, 보충학습지로 올립니다.

 

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* 이차함수의 최대 최소

1. 실수 범위에서 이차함수는 최댓값 또는 최솟값을 가진다.

 

이차함수의 그래프 개형을 먼저 알아봅시다.

이차함수 y=ax^2+bx+c는 아래로 볼록하거나 위로 볼록한 그래프를 가집니다.

이차항의 계수가 양수라면 아래로 볼록,

이차항의 계수가 음수라면 위로 볼록합니다.

 

다시 말해, a>0이라면 아래로 볼록

a<0이라면 위로 볼록한 그래프를 얻을 수 있습니다.

 

그리고, 아래로 볼록한 그래프는 최솟값을

위로 볼록한 그래프는 최댓값을 얻을 수 있죠.

(이차함수의 최대최소를 배우는 배경입니다.)

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2. 이차함수를 y=완전제곱식+상수항 꼴로 고치면 최댓값(또는 최솟값)을 구할 수 있다.

이차함수를 나타내는 방법은 크게 두 가지가 있습니다.

1) y=a(x-p)^2+q

2) y=ax^2+bx+c

 

이차함수를 나타내는 방식에 따른 장점을 이야기하면 다음과 같습니다.

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1. 꼭짓점의 좌표를 알 수 있다.

- 이 방식으로 나타내면 꼭짓점의 좌표가 (p,q)임을 한눈에 알 수 있습니다.

2. 축의 방정식을 쉽게 알 수 있다.

- 이 방식으로 나타내면 그래프가 x=p에 대칭임을 알 수 있습니다.

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1. y절편을 쉽게 알 수 있다.

- 이 방식으로 나타내면 그래프가 (0,c)를 지납니다. c가 곧 y절편입니다.

2. 함숫값을 구하기 편리하다.

* y= x^2+x+1에 대하여 x=1일 때 y의 값은 1^2+1+1=3입니다. 이와 같이 x의 값을 대입하여 y의 값을 구하기 편리합니다.

 

 

우리가 눈여겨보아야 할 점은 y=a(x-p)^2+q 꼴의 첫 번째 장점, '꼭짓점의 좌표를 알 수 있다'입니다.

a>0이라면 꼭짓점의 y좌표가 최솟값,

a<0이라면 꼭짓점의 y좌표가 최댓값이 되기 때문입니다.

 

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예) 이차함수의 최댓값과 최솟값을 구해봅시다.

문제 풀이 순서

1단계 : 완전제곱식에 필요한 상수항을 더하고, 뺀다.

* x^2-6x가 있으므로, 완전제곱식에 필요한 상수항은 9다. 9를 더하고 빼면 (x^2-6x+9-9)+10을 만들 수 있다.

 

2단계 : 1단계에서 뺀 항을 분배법칙을 이용하여 괄호 바깥으로 꺼낸다.

* 괄호 앞에는 1이 생략되어 있다. 안의 -9를 꺼낼 때 분배법칙을 적용하면 (-9)×1=-9다.

따라서 (x^2-6x+9)-9+10을 만들 수 있다.

 

3단계 : 괄호 바깥의 두 상수항을 더한다.

(x^2-6x+9)-9+10 = (x^2-6x+9)+1

 

4단계 : 괄호 안의 이차식을 완전제곱식으로 고친다.

(x^2-6x+9)+1 = (x-3)^2+1 

 

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* 첨부파일

2020PM PLP-03.pdf

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