학습지제작소 관리자
2020. 10. 19.
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각 C=90˚인 직각삼각형 ABC에 대하여
sinB = (높이)÷(빗변) = (변 AC)÷(변 AB)
cosB = (밑변)÷(빗변) = (변 BC)÷(변 AB)
tanB = (높이)÷(밑변) = (변 AC)÷(변 BC)
를 만족합니다.
* 30, 45, 60도일 때 삼각비의 값
(1) 30도, 60도일 때 삼각비의 값
정삼각형 ABC에 대하여 변 BC의 중점을 M이라고 생각해봅시다.
선분 AM은 이등변삼각형의 성질에 따라 변 BC를 수직이등분합니다.
따라서 삼각형 ABM은 직각삼각형입니다.
직각삼각형 ABM에서
(각 ABM) = 60˚
(각 BAM) = (각 BAC)÷2 = 30˚으로,
세 각이 30˚, 60˚, 90˚인 직각삼각형을 만들 수 있습니다.
이제 삼각형 ABM의 삼각비를 조사해봅시다.
선분 BM의 길이를 1이라고 놓을 때선분 BC의 길이는 2이고 삼각형 ABC는 한 변의 길이가 2인 정삼각형입니다.따라서 선분 AB의 길이는 2입니다.
피타고라스의 정리를 이용하면 선분 AM의 길이를 구할 수 있습니다.
(선분 AB의 길이)^2 = (선분 AM의 길이)^2 + (선분 BM의 길이)^2
가 성립하므로
2^2 = (선분 AM의 길이)^2 +1^2
(선분 AM의 길이)^2 = 3이 됩니다.
따라서 선분 AM의 길이는
입니다.
정리하면 (선분 AB) : (선분 AM) : (선분 BM)은
의 비를 갖습니다.
(각 BAM) = 30˚으로
sin30˚ = (선분 BM)÷(선분 AB)
cos30˚ = (선분 AM)÷(선분 AB)
tan30˚ = (선분 BM)÷(선분 AM)
입니다.
(각 ABM) = 60˚으로
sin60˚ = (선분 AM)÷(선분 AB)
cos60˚ = (선분 BM)÷(선분 AB)
tan60˚ = (선분 AM)÷(선분 BM)
입니다.
(2) 45도일 때 삼각비의 값
45도일 때 삼각비의 값은 직각이등변삼각형을 생각해보면 됩니다.
각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에 대하여
변 BC의 길이를 1이라고 놓으면 피타고라스의 정리에 의해
(선분 AB의 길이)^2 = (선분 AC의 길이)^2 + (선분 BC의 길이)^2
를 만족합니다.
(선분 BC)=(선분 AC)이므로
(선분 AB의 길이)^2 = 2
따라서 선분 AB의 길이는
입니다.
정리하면 (선분 AB) : (선분 AC) : (선분 BC)는
입니다.
각 A의 크기는 45˚이므로
sin45˚ = (선분 AC)÷(선분 AB)
cos45˚ = (선분 BC)÷(선분 AB)
tan45˚ = (선분 AC)÷(선분 BC)
입니다.
(3) 0도, 90도일 때 삼각비의 값
0도일 때 높이의 길이가 0이므로 삼각비는 다음과 같이 약속합니다.
sin0˚ = 0
cos0˚ = 1
tan0˚ = 0
90도일 때 밑변의 길이가 0이므로 삼각비는 다음과 같이 약속합니다.
sin90˚ = 1
cos90˚ = 0
tan90˚ = 존재하지 않음
* 특정각이 주어졌을 때 삼각비 표
앞서 살펴본 특정각에 대한 삼각비를 정리하면 위와 같습니다.
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이번 학습지는 특정각 0, 30, 45, 60, 90도가 주어졌을 때 sin cos tan 값을 구하는 문제로 구성했습니다.
30, 45, 60도는 정삼각형과 직각이등변삼각형으로 유도할 수 있기 때문에 값을 자주 물어봅시다.
0도와 90도는 특별한 상황이기 때문에 종종 물어봅니다.
문제를 풀어보면서 삼각비 값을 구해봅시다.
삼각형을 그린 후 피타고라스의 정리를 이용해 값을 구해도 괜찮습니다.
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