제곱근의 크기 비교하기 (개념+수학문제)

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| 제곱근의 크기 성질

√10과 √11의 크기를 비교해봅시다.

우선 √10은 10의 제곱근이고, √11은 11의 제곱근입니다.

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앞서 [중2-1]부등식의 성질 중 다음과 같은 성질이 있었습니다.

0<a<b이고 c>0일 때, ac<bc이다.

(양변에 양수를 곱하는 경우 부등호의 방향은 변하지 않는다.)

그렇다면 다음과 같이 생각해봅시다.

 

(1)

1<a<b일 때

부등식의 양변에 a를 곱하면

a^2<ab를 얻을 수 있습니다. (단 ^2는 제곱)

 

(2)

마찬가지로

1<a<b일 때

부등식의 양변에 b를 곱하면

ab<b^2를 얻을 수 있습니다.

 

(3)

(1)과 (2)에서 얻은 부등식을 연결하면

a^2 < ab < b^2 입니다.

따라서 

a^2 < b^2 라고 생각할 수 있습니다.

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다시 문제로 돌아가봅시다.

√10과 √11은 0보다 크므로 양수입니다.

이 때 각각을 제곱하면 10과 11입니다. 11이 10보다 크므로,√10<√11이라고 결론지을 수 있습니다.

 

[정리] a<b이면 √a<√b이다. (단, a와 b는 양수)     [응용] a<b이면 -√a<-√b이다. (단, a와 b는 양수)

 

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| 제곱근의 크기 비교해보기

[정리1] 양변이 모두 양수인 경우, 제곱하여 근호를 지웁니다.     [정리2] 제곱한 수가 큰 쪽의 제곱근이 더 큽니다.     [정리3] 양변이 모두 음수인 경우, 절댓값을 제곱하여 비교한 뒤, 음수 기호를 붙여 부등호의 방향을 바꿉니다.

다음 세 문제를 풀어봅시다.

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(1) 두 항은 모두 양수이므로, 제곱하여 비교해볼 수 있습니다.

(2) 두 항이 모두 양수이므로, 제곱하여 비교할 수 있습니다.

다만 분수의 크기가 큰 쪽이 제곱근 역시 크다는 점을 이용해야합니다.

(3) 절댓값을 제곱한 뒤, 음수 기호를 붙여 부등호를 뒤집어야 합니다.

 

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2020SP M3-04(20211221수정).pdf

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[2021-12-21 추가] Day 2번의 9번 문항 답안을 수정하였습니다. 

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| 닫는 말

  부등식의 성질과 제곱근의 성질을 이용하면 제곱근의 크기를 비교할 수 있습니다. 제곱수가 아닌 경우 제곱근의 정확한 값은 알기 어렵지만, 두 수 중 어느 쪽이 큰지는 비교할 수 있습니다. 문제를 풀어보며 어떤 수가 더 큰지 구해보시길 바랍니다.

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