[중2-2] 8. 도형의 닮음 > 삼각형의 닮음조건 (개념+수학문제)

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📄 도형의 닮음 (1) : 닮음의 뜻, 닮음비, 닮음의 성질

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* 삼각형의 닮음조건

삼각형은 다음 조건 중 하나를 만족하면 닮음 관계를 가집니다.

 

 삼각형의 닮음조건 

1. 대응 관계에 있는 세 쌍의 변의 길이의 비가 서로 같다. (SSS닮음)

2. 대응 관계에 있는 두 쌍의 변의 길이의 비가 서로 같고, 끼인각의 크기가 같다. (SAS닮음)

3. 대응 관계에 있는 두 쌍의 각의 크기가 같다. (AA닮음)

 

SSS, SAS는 삼각형의 합동조건과 원리가 같습니다.

세 대응변, 두 대응변과 끼인각이라는 점이 같죠.

 

그러나 ASA가 삼각형의 합동조건인 반면삼각형의 닮음조건은 AA입니다.

 

닮음 관계는 모양만 서로 같으면 되므로

AA상태에서모양과 크기가 같은 합동 조건과는 달리 변의 길이를 생각할 필요가 없습니다.

 

[참고] AAA닮음이 아닌 까닭은 두 각의 크기가 주어지면 삼각형의 내각의 합은 180도로 동일하므로 다른 각의 크기가 정해집니다. 따라서 두 각의 크기만 주어지더라도 닮음 조건을 만족합니다.

 

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예) 두 삼각형 ABC와 DEF에 대하여

를 만족한다면 삼각형 ABC와 삼각형 DEF는 닮음입니다. (SSS닮음)

 

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예) 두 삼각형 ABC와 DEF에 대하여

를 만족한다면 삼각형 ABC와 삼각형 DEF는 닮음입니다. (SAS닮음)

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예) 두 삼각형 ABC와 DEF에 대하여

를 만족한다면 삼각형 ABC와 삼각형 DEF는 닮음입니다. (AA닮음)

 

 

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[2025-05-21 추가] 14번 문항에 대한 해설을 요청받아 적습니다.

문제

도형의 닮음 문제

풀이

사각형 ABCD는 마름모이므로

(1) $\overline{AC}$와 $\overline{BD}$는 서로 수직이등분합니다.

(2) 네 변의 길이는 5cm로 서로 같습니다.

 

따라서 $\overline{EC}$의 길이는 5cm-3cm=2cm입니다.

$\overline{AC}$의 길이는 $\overline{AG}$의 2배이므로 6cm입니다.

 

이렇게 되면 $\triangle AFD$와 $\triangle CFE$의 닮음 관계를 이용할 수 있는데,

선분 AD와 EC가 평행하므로 AA닮음입니다.

$\triangle AFD$와 $\triangle CFE$의 닮음비는  $\overline{AD}$:$\overline{EC}$=5:2입니다.

 

따라서 6cm를 5:2로 비례배분하면 $\overline{AF}$의 길이는 $6 \times \cfrac{5}{7} = \cfrac{30}{7}$입니다.

$\overline{GF}$의 길이는 $\cfrac{30}{7}$에서 3을 뺀 값이므로 $\cfrac{9}{7}$입니다.

 

이제 "$\overline{AC}$와 $\overline{BD}$는 서로 수직이등분합니다."를 이용하면

$\triangle DGF$가 직각삼각형임을 알 수 있습니다. 따라서 넓이를 구하면

$4 \times \cfrac{9}{7} \times \cfrac{1}{2} = \cfrac{18}{7} cm^2$

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2020WP M2-08.pdf

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* 닫는 말

삼각형의 닮음조건을 이용한다면 주어진 도형에서 닮음인 두 삼각형의 관계를 추론할 수 있고, 변의 길이를 구하거나 넓이를 구하는 단서가 됩니다. 이번 학습지는 삼각형의 닮음조건을 생각하면서 풀어볼 수 있는 기초적인 문제부터 생각을 요하는 어려운 문제까지 섞여 있습니다. 문제를 풀어보며 삼각형의 닮음조건을 공부해봅시다.

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