[공통수학2] 함수의 치역 구하기 (개념정리+연습문제 학습지 PDF)

함수의 핵심! 정의역, 공역, 치역의 개념 정리 & 실전 치역 구하기 15제 풀이

고등학교 공통수학2(또는 수학 하)에 들어서면 중학교 때 배웠던 '함수'의 개념이 집합을 기반으로 더욱 엄밀하게 확장됩니다. 이때 가장 먼저 등장하면서도 학생들이 자주 혼동하는 개념이 바로 정의역, 공역, 치역입니다.

오늘은 공역과 치역의 차이점을 명확하게 파악하고, 일차함수·이차함수·절댓값 함수부터 조건이 제시된 응용문제까지 다양한 함수의 치역 구하기 핵심 문제를 풀어봅시다.

정의역, 공역, 치역이란?

두 집합 $X, Y$에 대하여 $X$의 각 원소에 $Y$의 원소가 오직 하나씩만 대응할 때, 이 대응을 집합 $X$에서 집합 $Y$로의 함수(Function)라고 하며 $f: X \to Y$로 나타냅니다.

함수의 3가지 핵심 집합

• 정의역: 함숫값을 정의하는 $x$값들의 집합입니다.
• 공역: 함숫값이 될 수 있는 $y$값들의 전체 집합입니다.
• 치역: 실제 함숫값 전체의 집합입니다.

구분	의미	기호 표현	핵심 포인트
정의역	함수가 정의되는 $x$의 집합	$X$	문제에 별도 언급이 없으면 실수 전체
공역	함숫값이 속할 수 있는 $y$의 전체 집합	$Y$	특별한 언급이 없으면 보통 실수 전체
치역	실제 함숫값들의 모임	$f(X) = \{f(x) \mid x \in X\}$	치역은 항상 공역의 부분집합! ($f(X) \subseteq Y$)

 

치역을 구하는 문제는 정의역의 형태와 함수의 종류에 따라 크게 3가지 유형으로 나뉩니다.

정의역이 유한집합인 경우 (원소나열법) - $x$의 각 원소를 함수식 $f(x)$에 대입합니다. - 나온 결과값 중 중복되는 것은 하나만 써서 집합 $\{ \dots \}$ 형태로 표현합니다. 정의역이 연속적인 구간인 경우 ($a \le x \le b$) - 그래프의 개형(일차함수, 이차함수의 꼭짓점, 절댓값 그래프의 꺾이는 점 등)을 파악합니다. - 해당 구간에서의 최솟값과 최댓값을 구하여 $\{y \mid \text{최솟값} \le y \le \text{최댓값}\}$ 형태로 적습니다.

 

 

학습지 대표 문제 상세 풀이 (15제 중 엄선)

 

학습지에 수록된 대표 문제들을 통해 실제 시험에 출제되는 유형들을 하나씩 정복해 봅시다!

문제 1 [유한집합 정의역 - 일차함수]

집합 $X=\{-2, -1, 0, 1, 2\}$를 정의역으로 하는 함수 $y=2x-3$의 치역을 구하시오.

[풀이 과정]
정의역 $X$의 각 원소를 $y = 2x - 3$에 대입하여 함숫값을 구합니다.
• $x = -2 \implies y = 2(-2) - 3 = -7$
• $x = -1 \implies y = 2(-1) - 3 = -5$
• $x = 0 \implies y = 2(0) - 3 = -3$
• $x = 1 \implies y = 2(1) - 3 = -1$
• $x = 2 \implies y = 2(2) - 3 = 1$

구한 함숫값들을 집합으로 묶어 나타냅니다.

정답: $\{-7, -5, -3, -1, 1\}$

문제 5 [구간 정의역 - 절댓값 함수]

집합 $X=\{x \mid -2 \le x \le 3\}$을 정의역으로 하는 함수 $y=|2x|-1$의 치역을 구하시오.

[풀이 과정]
$y = |2x| - 1$의 그래프는 $x = 0$에서 V자로 꺾이는 모양입니다.
1) $x = 0$일 때, 최솟점 $y = |0| - 1 = -1$
2) 양 끝값에서의 함숫값을 확인합니다:
• $x = -2 \implies y = |-4| - 1 = 4 - 1 = 3$
• $x = 3 \implies y = |6| - 1 = 6 - 1 = 5$ (최댓값)

따라서 $y$의 범위는 $-1 \le y \le 5$ 입니다.

정답: $\{y \mid -1 \le y \le 5\}$

문제 8 [구간 정의역 - 이차함수]

집합 $X=\{x \mid -1 \le x \le 4\}$를 정의역으로 하는 함수 $y=-(x-1)^2+5$의 치역을 구하시오.

[풀이 과정]
이차함수 $y = -(x-1)^2 + 5$는 위로 볼록하며 꼭짓점의 좌표가 $(1, 5)$입니다.
1) 꼭짓점의 $x = 1$이 정의역 $[-1, 4]$에 포함되므로 최댓값은 $y = 5$입니다.
2) 꼭짓점 $x = 1$에서 더 멀리 떨어진 $x = 4$일 때 최솟값을 갖습니다.
• $x = 4 \implies y = -(4-1)^2 + 5 = -9 + 5 = -4$
• (참고: $x = -1 \implies y = -(-2)^2 + 5 = 1$)

따라서 치역은 $-4 \le y \le 5$ 입니다.

정답: $\{y \mid -4 \le y \le 5\}$

문제 13 [고난도 - 치역의 교집합 조건]

정의역이 실수 전체의 집합인 두 함수 $f(x)=x^2-4x+5$, $g(x)=-x^2-2x+k$의 치역을 각각 $A, B$라 하자. $A \cap B = \emptyset$이 성립하도록 하는 정수 $k$의 최댓값을 구하시오.

[풀이 과정]
1) 함수 $f(x)$의 치역 $A$ 구하기:
$f(x) = (x-2)^2 + 1 \ge 1$ 이므로 치역 $A = \{y \mid y \ge 1\}$

2) 함수 $g(x)$의 치역 $B$ 구하기:
$g(x) = -(x+1)^2 + k + 1 \le k + 1$ 이므로 치역 $B = \{y \mid y \le k+1\}$

3) $A \cap B = \emptyset$ 조건 적용하기:
두 집합이 겹치지 않으려면 집합 $B$의 최댓값이 집합 $A$의 최솟값보다 엄밀히 작아야 합니다.
$$k + 1 < 1 \implies k < 0$$ 따라서 정수 $k$의 최댓값은 $-1$입니다.

정답: $-1$

문제 15 [고난도 - 절댓값 기호 2개인 함수]

정의역이 $X=\{x \mid -2 \le x \le 4\}$인 함수 $f(x)=|x+1|+|x-2|+a$의 치역이 $\{y \mid 5 \le y \le b\}$일 때, $a^2+b^2$의 값을 구하시오. (단, $a, b$는 상수)

[풀이 과정]
$g(x) = |x+1| + |x-2|$라 하면, 수직선 위에서 $x$가 $-1$과 $2$ 사이에 있을 때 두 거리의 합이 최소가 됩니다.
• $-1 \le x \le 2$ 일 때: $g(x) = (x+1) + (2-x) = 3$ (최솟값)
• 따라서 $f(x)$의 최솟값은 $3 + a$ 이며, 문제에서 최솟값이 $5$라 하였으므로:
$$3 + a = 5 \implies a = 2$$
이제 $f(x) = |x+1| + |x-2| + 2$ 입니다.
구간 $[-2, 4]$에서 최댓값 $b$는 경계 양 끝점 중 $x = 4$일 때 발생합니다.
• $x = 4 \implies f(4) = |5| + |2| + 2 = 5 + 2 + 2 = 9 \implies b = 9$

따라서 $a^2 + b^2 = 2^2 + 9^2 = 4 + 81 = 85$ 입니다.

정답: $85$

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