[공통수학2] 여집합과 차집합 개념 정리, 연습문제 학습지 PDF

[ 고등학교 공통수학2 - 집합 ]

들어가며

고등학교 공통수학2 집합 단원에서는 전체집합 $U$ 내에서 정의되는 여집합($A^c$) 과 차집합($A-B$) 의 연산을 학습합니다.

여집합과 차집합은 집합의 연산을 단순화하고 실생활의 조건부 영역을 해석하는 데 필수적인 기초 개념입니다. 조건제시법으로 주어진 전체집합과 부분집합의 원소를 조건에 맞게 정확히 구한 후, 각 연산의 정의에 따라 원소를 구하고 원소의 개수를 계산하는 연산 숙달이 요구됩니다.

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여집합과 차집합의 정의와 성질

전체집합 $U$의 부분집합 $A$에 대하여, $U$의 원소 중 $A$에 속하지 않는 원소들의 집합을 $A$의 여집합이라 하고 기호로 $A^c$라 표기합니다.

두 집합 $A$, $B$에 대하여 $A$에는 속하지만 $B$에는 속하지 않는 원소들의 집합을 $A$에 대한 $B$의 차집합이라 하고 기호로 $A-B$라 표기합니다.

[여집합과 차집합의 조건제시법 및 주요 성질]


1. 여집합: $A^c = \{x \mid x \in U \text{ 그리고 } x \notin A\}$

2. 차집합: $A-B = \{x \mid x \in A \text{ 그리고 } x \notin B\}$

3. 차집합의 변형 공식: $A-B = A \cap B^c = A - (A \cap B)$

주요 개념을 색상으로 구분하면 다음과 같습니다.

• 여집합 ($A^c$): 전체집합 $U$에서 집합 $A$를 제외한 나머지 영역
• 차집합 ($A-B$): 집합 $A$의 순수한 영역 (공통 원소 $A \cap B$ 제외)
• 드모르간의 법칙: $(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$, $(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

학습지 문제 풀이

 

(1) $A^c$: 전체집합 $U$의 원소 중 $A$의 원소 $\{1, 2, 4, 8\}$을 제외한 나머지 원소들의 집합입니다.

$$\text{정답: } A^c = \{3, 5, 6, 7\} \text{}$$

(2) $A-B$: 집합 $A = \{1, 2, 4, 8\}$에서 $B = \{2, 4, 6\}$과의 공통 원소 $\{2, 4\}$를 제외한 원소들의 집합입니다.

$$\text{정답: } A-B = \{1, 8\} \text{}$$

(3) $B-A$: 집합 $B = \{2, 4, 6\}$에서 $A = \{1, 2, 4, 8\}$과의 공통 원소 $\{2, 4\}$를 제외한 원소들의 집합입니다.

$$\text{정답: } B-A = \{6\} \text{}$$

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여집합과 차집합의 원소의 개수 공식

여집합과 차집합의 원소의 개수를 구할 때는 유한집합의 원소의 개수 관계식을 이용합니다.

구분	원소의 개수 관계식	비고
여집합의 개수	$n(A^c) = n(U) - n(A)$	전체 개수에서 $A$의 개수 차감
차집합의 개수	$n(A-B) = n(A) - n(A \cap B)$	$n(A \cup B) - n(B)$ 로도 계산 가능
대칭차집합 개수	$n(A-B) + n(B-A)$	$n(A \cup B) - n(A \cap B)$ 와 동일

실제 학습지 문제 풀이 (6번, 9번 문항)

[학습지 6번] 전체집합 $U$의 두 부분집합 $A, B$에 대하여 $n(U) = 30$, $n(A) = 18$, $n(B) = 15$, $n(A \cap B) = 8$일 때 다음을 구하시오.

(1) $n(A^c)$: 여집합 원소의 개수 공식 $n(A^c) = n(U) - n(A)$를 적용합니다.

$$n(A^c) = 30 - 18 = 12$$

$$\text{정답: } 12 \text{}$$

(2) $n(A-B)$: 차집합 원소의 개수 공식 $n(A-B) = n(A) - n(A \cap B)$를 적용합니다.

$$n(A-B) = 18 - 8 = 10$$

$$\text{정답: } 10 \text{}$$

[학습지 9번] 지원이네 반 학생 30명 중 코딩 수업을 신청한 학생 18명, 로봇 교실을 신청한 학생 14명, 두 수업 중 어느 것도 신청하지 않은 학생이 3명일 때 다음을 구하시오.

전체집합 $n(U) = 30$, 코딩 집합 $n(A) = 18$, 로봇 집합 $n(B) = 14$, 두 수업 모두 미신청 $n((A \cup B)^c) = 3$입니다.

(1) 로봇 교실을 신청하지 않은 학생 수 $n(B^c)$:

$$n(B^c) = n(U) - n(B) = 30 - 14 = 16$$

$$\text{정답: } 16\text{명} \text{}$$

(2) 코딩 수업만 신청한 학생 수 $n(A-B)$:

$$n(A \cup B) = n(U) - n((A \cup B)^c) = 30 - 3 = 27$$

$$n(A \cap B) = n(A) + n(B) - n(A \cup B) = 18 + 14 - 27 = 5$$

$$n(A-B) = n(A) - n(A \cap B) = 18 - 5 = 13$$

$$\text{정답: } 13\text{명} \text{}$$

 

 

학습지 미리보기

📋 학습지 구성 특징

• 단원 및 성취기준: 고등학교 공통수학2 - 집합의 연산 (여집합과 차집합)
• 문항 구성: 조건제시법 기반 집합 구하기, 여집합/차집합 연산, 원소의 개수 응용 문항 등 총 10문항 수록
• 구성 특징: 단순 집합 구하기 연산부터 실생활 문장제 응용문제까지 포함하여 개념 이해와 원소의 개수 공식 적용력을 동시에 강화하도록 제작함

[공통수학2] 여집합과 차집합.pdf

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여집합과 차집합 관련 문항을 풀 때는 조건제시법으로 주어진 원소를 정확히 원소나열법으로 나타내고, 벤 다이어그램을 그리거나 원소의 개수 공식 관계를 명확히 정립하는 것이 핵심입니다.

전체 10문항 및 빠른 정답표가 포함된 PDF 학습지 자료는 본문 하단에서 다운로드하실 수 있습니다. 보충 학습 및 평가 자료로 활용해 보시기 바랍니다.