[미적분] 등비수열의 극한이 포함된 함수와 불연속 (개념+수학문제)

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고등학교 수학 교과서 미적분 목차 (최신판)

 

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* 등비수열의 극한

등비수열이란, 같은 수가 계속 곱해지는 수열입니다.

 

    예) $1, 2, 4, 8, 16, 32...$

 

    예) $\cfrac{1}{2}$, $\cfrac{1}{4}$, $\cfrac{1}{8}$, $\cfrac{1}{16}$, ...

 

이때 곱해지는 수를 공비라고 하며, 공비에 따라 등비수열이 수렴할 수도, 발산할 수도 있습니다.

 

등비수열 {$a r^{n-1}$}에 대하여 공비 $r$이

    ① $r<-1$: 발산

    ② $r=-1$: 발산(진동)

    ③ $-1<r<1$: 0으로 수렴

    ④ $r=1$: $a$로 수렴

    ⑤ $r>1$: 발산

 

* 등비수열의 극한이 포함된 함수의 불연속성 조사하기

위 문제에서 $x$에 따른 $f(x)$의 모습을 조사하면,

    ① $x<-1$이라면 $f(x)=1$

    ② $x=-1$이라면 $f(x) =$ $\cfrac{1}{2}$

    [참고]  ($x$의 지수가 $2n$이므로 공비가 -1이더라도 수렴합니다.)

    ③ $-1<x<1$이라면 $f(x) = \cfrac{1}{3}$

    ④ $x=1$이라면 $f(x) = \cfrac{1}{2}$

    ⑤ $x>1$이라면 $f(x)=1$

 

따라서 $x=1, x=-1$에서 불연속합니다.

이를 이용하면

$f(1)= \cfrac{1}{2}$, $f(2) = 1$

 

답: $\cfrac{3}{2}$

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* 첨부파일

2023TS H4-02(등비수열의 극한이 포함된 불연속함수 연습문제 10제).pdf

0.14MB

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* 닫는 말

이번 시간에는 미적분 과목의 '등비수열 극한'을 알아보았습니다.

등비수열의 극한이 포함된 함수를 주제로 한 연습문제 10제를 함께 준비하였으니,

학습에 활용하시면 좋겠습니다.

감사합니다.

 

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