고등학교 수학 교과서 미적분 목차 (최신판)

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* 미적분

미적분은 고등학교 수학과 영역 중 한 과목으로, 수학II에서 배웠던

함수의 극한과 연속, 미분, 적분을 더 깊게 배우는 단원입니다.

수학II에서는 함수의 수렴과 발산, 극한, 극한값을 배웠다면

미적분에서는 수열의 극한을 배웁니다. 공비에 따라 수열이 수렴하거나 발산하는데, 그 조건이 무엇인지

급수란 무엇인지 배우게 됩니다.

그리고 수학II에서 배웠던 미분과 적분은 모두 다항함수에 관한 것이었다면,

미적분 과목에서 배우는 미분법과 적분법은 다항함수가 아닌

지수함수, 로그함수, 삼각함수와 같은 함수를 어떻게 미분하고 적분하는지 배웁니다.

이에 나아가 합성함수를 어떻게 미분하는지, 함수의 일부분만을 어떻게 적분하는지 등다양한 미분법과 적분법을 배웁니다.

다음은 단원 이름과 단원에서 배우는 학습요소를 적어놓은 것입니다.

* 1. 수열의 극한

1단원은 '수열의 극한'으로, 수열이 수렴하는지 발산하는지 조사합니다.

그 중 등비수열의 경우 공비의 절댓값이 1보다 작으면 항이 점점 0에 가까워짐을 배우게 됩니다.

따라서 등비수열은 공비에 따라 수렴할 수도, 발산할 수도 있습니다.

수열의 극한을 배우고 나면, 급수라는 개념을 공부합니다.

급수란, 수열의 합을 시그마(∑) 기호를 사용해 나타낸 것으로,

흔히 교과서에서 이야기하는 급수는 제1항부터 n이 무한히 커질때 제n항까지 더한

무한급수를 뜻합니다.

등비수열의 합 공식을 적용하면

등비수열의 무한급수 값을 구할 수 있습니다.

* 2. 미분법

2단원은 '미분법'으로, 다양한 함수를 미분함과 동시에

새로운 여러 가지 미분 방법을 배우는 단원입니다.

수학II에서는 다항함수의 미분을 학습했다면,

미적분에서는 지수함수, 로그함수, 삼각함수의 극한과 미분을 배웁니다.

삼각함수의 경우 미분과 동시에 삼각함수의 각의 값이 더해질 때 어떻게 나타낼 수 있는지 배우는데,이를 삼각함수의 덧셈정리라고 부릅니다.

위와 같은 표현은 sin의 정의역이 합으로 나타나있다는 점에서 수학I에서 배웠던 삼각함수의 범위 밖의 내용입니다.

그런데 미분의 정의는 미분가능한 함수 f(x)에 대하여 도함수

를 구하는 과정이기 때문에 정의역이 합인 꼴 f(x+h)을 분석할 수 있어야 합니다.

이 때문에 삼각함수의 덧셈정리를 배운 뒤 삼각함수의 극한과 미분을 학습합니다.

미분하는 방법의 경우

몫의 미분법, 합성함수의 미분법, 매개변수가 들어있는 함수의 미분법, 음함수의 미분법, 역함수의 미분법 등

다항함수의 미분으로는 설명하기 힘든 미분 방법을 배웁니다.

도함수의 경우

도함수를 한 번 더 미분한 이계도함수 f''(x)의 의미를 알고,

함수의 그래프에서 이계도함수가 어떤 역할을 하는지, 변곡점과 어떤 관계를 가지는지 배웁니다.

* 3. 적분법

3단원은 '적분법'으로, 2단원 미분법과 마찬가지로

지수, 로그함수, 삼각함수를 부정적분, 정적분하는 내용입니다.

정적분을 통해 지수/로그함수, 삼각함수의 그래프로 이루어진 영역의 넓이를 구할 수 있습니다.

미분법과 마찬가지로 적분법에서는

적분하는 여러 방법을 배웁니다.

적분법에서 배우는 적분 방법은 치환적분과 부분적분이 있습니다.

치환적분이란 함수에서 한꺼번에 적분하고 싶은 미지수를 치환하여 적분하는 방법입니다.

예를 들어,

는 전개 후 적분해도 되지만,

x^2+3을 X로 치환하여 적분할 수도 있습니다.

이때 어떤 수학적 원리가 들어가는지유의사항이 무엇인지 배웁니다.

부정적분이란 함수가 둘 이상의 인수의 곱으로 이루어져 있을 때 하나의 인수만 적분하는 방법입니다.

예를 들어,

의 경우, 부정적분을 이용하면 x^2만 적분하거나 함수 g(x)만 적분하여

식으로 나타낼 수 있습니다.

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