유한소수로 나타낼 수 있는 분수 개념정리, 연습문제 | 중학교 2학년 수학

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* 분수를 유한소수로 나타내기

분수는 기약분수로 나타내었을 때 분모의 모습에 따라 유한소수가 될 수도, 무한소수가 될 수도 있습니다.

  ※ 유한소수, 무한소수 개념정리: https://calcproject.tistory.com/56

 

개념 정리 글을 요약하면 다음 두 내용으로 정리할 수 있습니다.

[정리] 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수가 2 또는 5뿐이라면, 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

[정리] 기약분수로 나타냈을 때, 분모의 소인수 중 2와 5를 제외한 소인수가 있다면, 유한소수로 나타낼 수 없습니다.

 

  예) 분수 $\cfrac{3}{40}$을 소수로 나타내면 유한소수인가?

 

    [풀이] 분모 $40$을 소인수분해하면 $2^3 \times 5$입니다. 소인수가 2와 5이므로 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

  예) 분수 $\cfrac{4}{15}$을 소수로 나타내면 유한소수인가?

 

    [풀이] 분모 $15$을 소인수분해하면 $3 \times 5$입니다. 소인수가 3과 5이므로 유한소수로 나타낼 수 없습니다. (소인수 3이 존재함)

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[중요] 기약분수를 조사하기 때문에, 분모에 2와 5를 제외한 소인수가 있더라도 분자로 약분된다면 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

 

  예) 분수 $\cfrac{9}{60}$을 소수로 나타내면 유한소수인가?

 

    [풀이] 분모 $60$을 소인수분해하면 $2^2 \times 3 \times 5$입니다. 그런데 분자가 3의 배수이므로 기약분수로 나타내었을 때 분모 중 소인수 3이 없어집니다. 따라서 유한소수로 나타낼 수 있습니다.

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이 내용을 활용하여 분자의 값을 미지수로 구했을 때 문제들을 풀 수 있습니다.

 

  예) 분수 $\cfrac{x}{150}$를 소수로 나타내면 유한소수일 때, $100$이하의 자연수 중 $x$의 값이 될 수 있는 가장 큰 수를 구하시오.

 

  [풀이] 분모를 소인수분해하면 ${2 \times 3 \times 5^2}$입니다. 분수를 기약분수로 나타내었을 때, 분모에서 소인수 $3$이 없어야 합니다. $x$로 가능한 수는 $3$의 배수입니다. $100$이하의 $3$의 배수 중 $x$의 값이 될 수 있는 가장 큰 수는 $3 \times 33 = 99$입니다.

정답: $99$

 

 

 

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* 첨부파일

2023TS M2-01(분수가 유한소수가 되게 하는 미지수 구하기).pdf

0.13MB

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* 닫는 말

이번 시간에는 중학교 2학년 수학 중 분수가 유한소수가 되도록 하는 n(또는 x)의 값을 구하는 문항으로 준비해보았습니다. 유한소수로 나타낼 수 있는 분수의 조건이 무엇인지 정리해 놓은 뒤 문제를 풀어봅시다. 문제지 뒷부분에 해설지도 같이 첨부했으니, 공부하실 때 활용하시면 좋겠습니다.

 

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