학습지제작소 관리자
2023. 5. 23.* 같이 보면 좋은 글
* 중복조합
중복조합이란, 같은 대상을 중복하여 뽑을 수 있는 경우의 수를 말합니다.
반면 조합은 같은 대상을 중복하여 뽑을 수 없습니다.
예) 알파벳 a,b,c,d에서 3개를 뽑는 경우의 수
(a,b,c), (a,b,d), (a,c,d), (b,c,d)로 모두 4가지입니다. 이 상황은 4개 중 3개를 중복하지 않고 뽑는 경우의 수입니다. 수식으로 나타내면 $ _{4} C _{3} = 4$입니다.
예) 알파벳 a,b,c,d에서 중복을 허락하여 3개를 뽑는 경우의 수
(a,b,c), (a,b,d), (a,c,d), (b,c,d)외에도 (a,a,a), (a,a,b), (c,c,c)와 같이 중복한 경우가 있습니다.
중복조합은 조합의 C 대신 H를 사용하여 표현합니다.
수식으로 나타내면 $ _{4} H _{3}$입니다.
※ $ _{4} H _{3}$ 계산하는 법
바둑돌과 가림판으로 생각해볼까요? 모양과 크기가 서로 같은 바둑돌 3개가 있습니다. 4개의 구역을 만들기 위해 다음과 같이 가림판 3개를 준비해봅시다.
구역1부터 구역4까지를 각각 a,b,c,d라 하면 순서쌍 (a,a,b)는 다음과 같이 나타낼 수 있습니다.
순서쌍 (a,b,d)와 같이 중복되지 않는 경우도 나타낼 수 있습니다.
중요한 것은 바둑돌을 ●, 가림판을 | 로 놓으면 (a,a,b)와 (a,b,d)를 다음과 같이 나열할 수 있다는 점입니다.
1) (a,a,b) = ●●|●||
2) (a,b,d) = ●|●||●
다시말해, ● 3개, | 3개를 순서대로 배열하는 경우의 수와 같아집니다.
$\cfrac{6!}{3! \times 3!} = 20$가지입니다.
[정리] 중복조합을 그림으로 표현하기
1) $ _{n} H _{r}$은 n개의 구역에 바둑돌 r개를 놓는 경우의 수와 같다.
2) n개의 구역을 만들기 위해 가림판을 (n-1)개 놓는다.
3) 가림판 (n-1)개와 바둑돌 r개를 배열한다.
$\cfrac{(n+r-1)!}{(n-1)! \times r!} $ = $ _{n+r-1} C _{r}$
4) 따라서 $ _{n} H _{r}$ = $ _{n+r-1} C _{r}$
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이번 시간에는 중복조합에 대해 공부해보았습니다. 그림을 이용한 설명이 도움이 될듯하여 과정별로 설명을 달아놓았습니다. 학습에 참고하시면 좋겠습니다. 감사합니다.
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