[확률과 통계] 함수의 개수에 대한 확률 구하기 (개념+수학문제)

* 함수의 개수와 관련한 확률

함수의 개수는 순열, 조합, 중복순열, 중복조합을 이용해서 구할 수 있습니다.

1) 함수의 개수 구하기

예) 두 집합 X={1,2,3}, Y={1,2,3,4}에 대하여 함수 $f:X \rightarrow Y$가 존재할 때, 가능한 서로 다른 함수 f는 몇 가지입니까?

[풀이] $f(1)$로 가능한 함숫값은 1,2,3,4 모두 4가지입니다. $f(2)$, $f(3)$ 또한 각각 4가지입니다. 중복순열을 적용하면

$_{4} \Pi _{3} = 4^3 = 64$가지입니다.

[정리] 정의역의 원소의 개수 $n(X)=a$, 공역의 원소의 개수 $n(Y)=b$라 할 때, 함수의 개수는 $_{b} \Pi _{a}$

2) 일대일함수일 확률 구하기

예) 두 집합 X = { a, b }, Y = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }에 대하여 함수 $f:X \rightarrow Y $중에서 하나를 무작위로 선택할 때, 함수 $f$가 일대일함수일 확률을 구하여라.

[풀이] 만들 수 있는 서로 다른 집합 $f$의 개수는 $6^2 = 36$가지입니다. 그 중 일대일함수는 $6$개의 원소 중 $2$개의 원소를 뽑아 한 줄로 나열하는 것과 같습니다. 따라서 $ _{6} P _{2} = 30$가지입니다. 따라서 확률을 구하면 $\cfrac{30} {36} = \cfrac{5} {6}$

[정리] 정의역의 원소의 개수 $n(X)=a$, 공역의 원소의 개수 $n(Y)=b$라 할 때, 일대일함수의 개수는 $_{b} P _{a}$

3) f(a)<f(b)<f(c)인 함수의 개수 구하기

예) 두 집합 X = { a, b, c }, Y = { 1, 2, 3, 4 }에 대하여 함수 $f:X \rightarrow Y $중에서 하나를 무작위로 선택할 때, $f(a)<f(b)<f(c)$일 확률을 구하여라.

[풀이] 만들 수 있는 서로 다른 집합 $f$의 개수는 $4^3 = 64$가지입니다. 그 중 $f(a)<`f(b)<f(c)$인 서로 다른 함수의 개수는 4개의 원소 중 순서에 관계없이 3개 뽑는 경우의 수와 같습니다. 따라서 $ _{4} C _{3} = 4$가지입니다. 따라서 확률을 구하면 $\cfrac{4} {64} = \cfrac{1} {16}$

[정리] $f(a)<f(b)<f(c)$와 같은 함수의 개수는 치역이 될 함숫값을 뽑은 뒤 순서가 하나로 정해집니다. 따라서 조합을 사용합니다.

4) f(a)≤f(b)≤f(c)인 함수의 개수 구하기

예) 두 집합 X = { 3, 6, 9 }에 대하여 함수 $f:X \rightarrow X $중에서 하나를 무작위로 선택할 때, 함수 $f(3) \le f(6) \le f(9)$일 확률을 구하여라.

[풀이] 만들 수 있는 서로 다른 집합 $f$의 개수는 $3^3 = 27$가지입니다. 조건에 알맞은 함수의 개수는 3개의 원소 중 중복하여 3개 선택하는 경우의 수와 같습니다. 따라서 $ _{3} H _{3} = 10$가지입니다. 따라서 확률을 구하면 $\cfrac{10} {27}$입니다.

[정리] $f(a) \le f(b) \le f(c)$와 같은 함수의 개수는 치역이 될 함숫값을 뽑은 뒤 순서가 하나로 정해집니다. 등호가 있어 중복하여 선택할 수 있으므로 중복조합을 사용합니다.