무리수의 대소 비교 정리, 학습지 연습문제 10제 [중3-1 수학]

* 무리수의 대소 비교 완벽 정리

참고 무리수와 실수의 크기를 비교하는 세 가지 핵심 방법

1) 두 수의 차를 이용하기 (\(A - B\)): 두 수의 차를 이용해서 0과 비교하면 크기를 비교할 수 있습니다.

    • \(A - B > 0\) 이면 \(A > B\)

    • \(A - B = 0\) 이면 \(A = B\)

    • \(A - B < 0\) 이면 \(A < B\)

    예) \(2\)와 \(4 - \sqrt{3}\)을 비교할 때, \(2 - (4 - \sqrt{3}) = -2 + \sqrt{3} = -\sqrt{4} + \sqrt{3} < 0\) 이므로 \(2 < 4 - \sqrt{3}\) 입니다.

 

 

 

2) 제곱근의 성질 이용하기 (\(a > 0, b > 0\)): 근호 안의 수가 클수록 전체 근호의 값도 큽니다.

    • \(a < b\) 이면 \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\)

    • \(\sqrt{a} < \sqrt{b}\) 이면 \(a < b\)

    예) \(11 < 13\) 이므로 \(\sqrt{11} < \sqrt{13}\) 이고, 양변에 \(-1\)을 곱한 뒤 \(5\)를 더하면 \(5 - \sqrt{11} > 5 - \sqrt{13}\) 입니다.

 

 

 

3) 유리수를 근호(\(\sqrt{\ \ }\))로 바꾸어 비교하기: 유리수와 무리수가 섞여 있을 때 유용합니다.

    예) \(\sqrt{29} + 1\)과 \(6\)을 비교할 때, 양변에서 \(1\)을 빼면 \(\sqrt{29}\)와 \(5\)의 비교가 됩니다. \(5 = \sqrt{25}\)이므로 \(\sqrt{29} > \sqrt{25} = 5\)가 되어 \(\sqrt{29} + 1 > 6\) 입니다.

** 유리수와 근호가 있는 무리수가 양변에 섞여있다면 유리수에 근호를 씌우는 것도 방법이 될 수 있겠죠?

 

 

 

문제 1 다음 두 실수의 대소를 비교해 보세요.

\(\sqrt{14} + \sqrt{11}\)  ,  \(\sqrt{11} + 4\)

두 수에서 공통으로 더해져 있는 \(\sqrt{11}\)을 빼서 남은 부분을 비교합니다.

\((\sqrt{14} + \sqrt{11}) - (\sqrt{11} + 4) = \sqrt{14} - 4\)

유리수 \(4\)를 근호 형태로 나타내면 \(4 = \sqrt{16}\) 입니다.

\(\sqrt{14} < \sqrt{16}\) 이므로 \(\sqrt{14} - 4 < 0\) 입니다.

따라서 \(\sqrt{14} + \sqrt{11} < \sqrt{11} + 4\) 입니다.

 

문제 2 다음 두 실수의 대소를 비교해 보세요.

\(8 - \sqrt{10}\)  ,  \(5\)

 

방법 1: 차(\(A-B\)) 이용하기

\((8 - \sqrt{10}) - 5 = 3 - \sqrt{10}\)

\(3 = \sqrt{9}\) 이고 \(\sqrt{9} < \sqrt{10}\) 이므로 \(3 - \sqrt{10} < 0\) 입니다.

방법 2: 무리수의 어림값 범위 구하기

\(3 < \sqrt{10} < 4\) 이므로 각 변에 \(-1\)을 곱하면 \(-4 < -\sqrt{10} < -3\) 입니다.

각 변에 \(8\)을 더하면 \(4 < 8 - \sqrt{10} < 5\) 가 되므로 \(5\)보다 항상 작습니다.

따라서 \(8 - \sqrt{10} < 5\) 입니다.

 

문제 3 심화 응용: 수직선 위의 정수 구하기

[문제] 부등식 \(\sqrt{7} < n - 2 < \sqrt{53}\) 을 만족하는 모든 자연수 \(n\)의 값의 합을 구하시오.

 

1) \(\sqrt{4} < \sqrt{7} < \sqrt{9}\) 이므로 \(2 < \sqrt{7} < 3\) 입니다.

2) \(\sqrt{49} < \sqrt{53} < \sqrt{64}\) 이므로 \(7 < \sqrt{53} < 8\) 입니다.

3) 따라서 정수 \(n - 2\)가 될 수 있는 최솟값은 \(3\), 최댓값은 \(7\)입니다.

    \(3 \le n - 2 \le 7\)

4) 각 변에 \(2\)를 더하면 \(5 \le n \le 9\) 가 됩니다.

만족하는 자연수 \(n\)은 \(5, 6, 7, 8, 9\)이므로 합을 구하면,

\(5 + 6 + 7 + 8 + 9 = \mathbf{35}\) 입니다.

 

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* 첨부파일

[중3-1] 무리수의 대소 관계 연습문제.pdf

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* 닫는 말

중학교 3학년 1학기 첫 단원에서 학생들이 가장 헷갈려하는 부분 중 하나가 바로 '무리수의 대소 비교와 정수 부분 찾기'입니다. 수직선 위에 직접 무리수의 위치를 나타내보고, 두 수의 차(\(A - B\))를 구해 양수/음수를 판별하는 연습을 충분히 하면 고등학교 부등식 영역까지 흔들리지 않는 탄탄한 기초가 완성됩니다.

첨부된 학습지에는 단순 대소 판별 문제부터 수직선 사이의 정수 개수를 구하는 발전 문제까지 균형 있게 수록되어 있으니 수업 부교재나 자율 학습용으로 유용하게 활용하시길 바랍니다.

 

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